現代数学の系譜11 ガロア理論を読む27 [無断転載禁止]©2ch.net

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475: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/14(土) 13:45:12.24 ID:co7dEEx8

つづき
この記事へのコメント
お久し振りです。
僕自身は、リーマン面の理論(複素関数論)で、正則関数の層(つまり、正則関数の芽(germ)を解析接続していってできたもの)を最初に学んだので、あまり抵抗なかった記憶があります。解説接続をモダーンに表現したものですよね。
余計なおせっかいですが、(多変数の)複素関数論とかを先にやられると、イメージが掴みやすいかも、です。
もっともジーゲル大先生は、お気に召さないらしく、(例の3巻本の)序文で「その後一般的になった、抽象的な用語は、ここでは用いない」と宣言されてますが(笑)。
2006年04月04日 20:06

◇sukarabeさん
アドバイスありがとうございます。
多変数関数論は、岡の嫌う記述形式だと思うのですが、でも愚人の私には、これがよさげです。不定域イデアルでは、いまいちよく解りません。

層は、正則関数　と　その解析接続　が一つのイメージなのでしょうけど、もっと、包括的な捕らえ方が出来ていなかったのです。
・茎と芽のイメージ
・関数概念の拡張の意味
・Hyperfunctionの記述言語としての存在（代数解析学、Ｄ加群を含む）
・スキームとの関連（代数幾何学の記述言語）
・ファイバー束との関連
・層係数のコホモロジー
などなど。でも、ふと、ある部分だけですが、”見えてきた”のです。
まだ、あやふやなイメージなので、もっと強固に、具体例をふんだんにするために、今年戦います。
2006年04月04日 23:09

不定域イデアルの概念は正に層そのものと言えるのではないでしょうか。岡潔さんが嫌うのは、自分が考え出したものに別の名前を付けられ、別の定式化がされ、ある意味、盗まれたと感じられたのでは、と思ったりもします。正則関数の層が連接層になるというのは、言葉は違えども、岡潔さんが発見し、証明されたことですし。
2006年04月04日 23:35

◇sukarabeさん
換骨奪胎（かんこつだったい）という言葉がぴったりなのでは、と思います。

でも、理論の創始者の意図とは別の発展をたどるのは、どの理論も同じでしょうね。

脆弱、連接　なんて、よくも悪くも現代数学の威力を感じさせます。
ひとたび概念と記述が確立すると、他の多くの分野に適用される。

そんなことを思います。
2006年04月04日 23:54
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/475

479: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/14(土) 14:03:11.22 ID:co7dEEx8

>>477 追加引用

[問題(***)] まず、X という空間上の層達の間に層の意味で何らかの関係があ
る状況を考えよ。(例えば、(19)のような層の short exact sequence がある
とせよ。層は局所的な情報も含んでいるので、層としての関係は局所的なもの
だと考える。) 層の関係から、大域的切断の空間 Ｆ(X) の間にどのような関
係が得られるか？大域的な切断の空間 Ｆ(X) のみを考えると、層 Ｆ 自身の
情報は失われるであろう。それを補完するものは何か？

これの一つの答が、H^0(X,Ｆ) = Ｆ(X) から始まる H^1, H^2, ... という層
のコホモロジーの理論なのです。

まあ、いろいろな見方があると思いますが、これは次のようにもっと一般化で
きる形で考えることができます。まず、X から一点のみからなる空間 pt={p}
への唯一の写像 f を考えます:

(23) f : X → pt, f(x) = p.

pt には位相空間の構造が一意的に入ります。(pt の空でない開集合は pt 自
身だけ。) pt 上の層は唯一の集合(もしくは加群やベクトル空間)を決めれば
決定されるので、pt 上の層と単なる集合(もしくは加群やベクトル空間)は同
一視することができます。

X 上の加群もしくはベクトル空間の層Ｆを与えたとき、f を通して「ＦのX上
での積分」が pt 上の加群もしくはベクトル空間層として定義できるとうれし
いでしょう。その一つの答は

(24) (ＦのX上での積分) = H^0(X,Ｆ) = Ｆ(X)

と定義することです。しかし、これではＦの情報が落ち過ぎてしまいます。そ
こで、

(25) (ＦのX上での積分) = (H^0(X,Ｆ), H^1(X,Ｆ), H^2(X,Ｆ),...)

と考えることによって、ある程度満足な理論を展開することができます。

略

局所と大域の関係の研究から始まった層の理論は、このように、「層と層の間
の写像や空間と空間の間の写像を考え、それらの間にどのような関係が付けら
れるか？」というより徹底したアイデアのもとで一般論が得られています。
(categoryとfunctorの発想。) この道具は特に代数幾何という分野では無くて
はならないものとなっています。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/479

481: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/14(土) 14:43:03.61 ID:co7dEEx8

>>478 関連（関連しているのは、”4.2.1 連接層”）

「超弦理論に出てくる数学」いいわ。関西ふうはちゃめちゃ感がいいね（＾＾
http://kansaimath.tenasaku.com/?page_id=1276
第8回　スケジュール | 関西すうがく徒のつどい: 201603
http://kansaimath.tenasaku.com/wp/wp-content/uploads/2016/04/sst-1.pdf
「超弦理論に出てくる数学」関西すうがく徒のつどい (セシル☆ 2016(3月21日)
(抜粋)
注意：この講義ノートは「関西すうがく徒のつどい」60 分講演のためにつ
くられたものに多少の加筆修正を加えたものである.
1 アブストラクト
弦理論とは, 物質の基本単位を, 大きさが無限に小さな０次元の点粒子では
なく１次元の拡がりをもった弦であると考える理論である. そこに超対称性
という考えを加え, 拡張したものが超弦理論だ. たったこれだけの仮説が現在,
宇宙の姿やその誕生のメカニズムを解き明かし, 同時に原子, 素粒子, クォー
クといった微小な物のさらにその先の世界を説明する理論の候補として, 活発
に研究されている.

また, 超弦理論で出てくる１０次元の中にはD ブレーンと呼ばれる様々な
次元の拡がりを持ったソリトン（孤立波）が存在する. 弦の中でも, 開いた弦
は, その端がD ブレーンに張り付いており, 重力子などの閉じた弦はD ブレー
ンの間を飛び交っていると考えられる.
このような物理の理論としての超弦理論だが, 数学的にも非常に魅力的な理
論だと言える. 超弦理論を詳しく調べようとするとき, 私たちは最先端の数学
に頻繁に出会う.
この講演では, コンパクト化された６次元としてのカラビヤウ空間,D ブレー
ンとしての連接層の導来圏など, 超弦理論に現れる数学概念の紹介をする.
超弦理論に関わる数学はあまりにも多岐にわたるので、紹介できるものは
極々一部でしかない. これを機会に自分で調べてみよう！となってもらえれば
良いと思う.
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/481

483: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/14(土) 15:54:19.81 ID:co7dEEx8

>>481 関連

http://phasetr.com/blog/2016/11/23/%E5%B1%A4%E3%81%A8%E3%82%B3%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC%E3%81%A8-riemann-%E9%9D%A2-%E9%BB%92%E6%9C%A8%E3%81%95%E3%82%93%E3%83%84%E3%82%A4%E3%83%BC%E3%83%88%E3%81%BE%E3%81%A8%E3%82%81/
層とコホモロジーと Riemann 面: 黒木さんツイートまとめ | 相転移プロダクション: 2016 11.23
(抜粋)
黒木玄 Gen Kuroki
#数楽 私が大学数学科2?3年生に「層とかコホモロジーとかを勉強したいのですが？」と聞かれたとき、最も易しい教育的な参考文献として紹介するのは
Gunning R. Lectures on Riemann surfaces (Princeton, 1966)
2016年8月8日 23:57

層とかコホモロジーの類は、何の役に立つのか何も理解せず、わけもわからず勉強するのは効率が悪く、Gunningさんのリーマン面の教科書のような易しい応用から入った方が得だと思う。一度勘所がつかめて怖くなくなればそこから先は普通のお勉強。
2016年8月9日 00:16

普通なら「たかがコンパクトRienann面のために層のコホモロジーの理論の準備をするのは重過ぎる」となってしまうと思うのですが、層とコホモロジーの話をタイプ印刷で35頁ほどにまとめるという凄技を見せてくれました！非常に教育的な本だと思います。
2016年8月9日 00:38

この本の存在を知ったのは理論物理学者達が引用していたから。Belavin-Polyakov-Zamolodchikovを初めて読んだときSchwarzian derivativeというのが出て来て「なんじゃこれは」と思ったのですが?続く

続き?、答えはGunningさんの本に書いてあった。現在ではウィキペディアまである→ https://en.m.wikipedia.org/wiki/Schwarzian_derivative …
2016年8月9日 00:50

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/483

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