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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む27 [無断転載禁止]©2ch.net (517ﾚｽ)
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170: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/01(日) 21:41:13.96 ID:cqs+IUeE >>25-27 補足 自分で引用しておいて悪いが、一言 100%真に受けないように 実無限、可能無限は、多分正式な数学用語ではないよ 哲学用語だ ZFCの中には出てこないし、普通の数学のテキストには出てこない。が 人が普通に無限を認識するとき役に立つ。文系くんには分かりやすいだろう https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9055107.html 実無限と可能無限の違いを教えて下さい - 数学 [締切済 - 2015/09/12] | 教えて！goo:質問者：わかすぎたかし 質問日時：2015/08/29 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/170
171: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/01(日) 21:43:51.49 ID:cqs+IUeE >>168 Tさんか そうあせりなさんな 釣り針はないというのに 釣られるんだから・・・ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/171
172: １３２人目の素数さん [] 2017/01/01(日) 21:47:48.27 ID:55xmNTx6 >>117によく注意して答えるがよろし ※早めに間違いを認めたほうがいいよーｗｗｗｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/172
173: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/01(日) 21:48:49.45 ID:cqs+IUeE >>59 戻る >数学を何だと思うかは「その人それぞれ」ですが、私の場合には構造と >いう考え方を重視するので、従って『数学の完成形はブルバキの形式』 突然ですが、”Bourbaki and Algebraic Topology”下記が面白いなと。まあ、以前にも引用した気がするが・・（＾＾； https://srad.jp/~taro-nishino/journal/547132/ ブルバキと代数トポロジー | taro-nishinoの日記 | スラド: 2012年02月26日 さて、随分本題とは関係のない話を書きましたが、ブルバキで私が取上げてほしかったトピックの一つに代数トポロジーがあります。ブルバキには多くの重要なトピックが抜けていますが、代数トポロジーについてはメンバー全員が精通していると言っても過言じゃなかったのに何故書かれなかったのか長年不思議に思っていました。 その疑問の答えを最近見つけました。それがJohn McCleary氏の"Bourbaki and Algebraic Topology"(PDF)です。以下に、その私訳を載せておきます。 ＜このPDFリンクでは、下記の”CasablancaTalk”のページに飛んで、そこで”McCleary”を検索すると下記PDFがあった。二つ余分を貼っておいた。＞ http://www.algtop.net/?s=CasablancaTalk&search=Search CasablancaTalk | Resultats de recherche | Moroccan Area of Algebraic Topology: http://www.algtop.net/wp-content/uploads/2012/02/docs_conf_ren-uir-2013_slides_CasablancaTalk.2013.pdf Bourbaki and Algebraic Topology これ本題 by John McCleary a talk1 given at the University of Casablanca, 4.VI.2013 http://www.algtop.net/wp-content/uploads/2012/02/docs_conf_ren-uir-2013_slides_MeknesTalk2013.pdf A History of Spectral Sequences これ結構面白い John McCleary Vassar College Universite de Meknes, Morocco, 10.VI.20131 http://www.algtop.net/wp-content/uploads/2012/02/docs_conf_ren-uir-2013_slides_RabatTalk.2013.pdf A History of Algebraic Topology これも結構面白い John McCleary Vassar College a talk1 for the GeoToPhyMa-2013 conference Universite Internationale de Rabat, Morocco, 6.VI.2013 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/173
174: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/01(日) 21:51:18.78 ID:cqs+IUeE >>172 すぐ食いつくひとだね（＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/174
175: １３２人目の素数さん [] 2017/01/01(日) 21:51:25.08 ID:/kS1YIMN All he can do is run away even though the year changes. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/175
176: １３２人目の素数さん [] 2017/01/01(日) 21:52:00.85 ID:55xmNTx6 >>173 困るとコピペでごまかすいつもの図ｗｗｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/176
177: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/01(日) 21:58:19.76 ID:cqs+IUeE >>173 つづき https://srad.jp/~taro-nishino/journal/547132/ ブルバキと代数トポロジー | taro-nishinoの日記 | スラド: 2012年02月26日 訳 (抜粋) 2004年12月10日 John McCleary マディソンウィスコンシン大学での講演 ここマディソンで、特にこの特別な日に講演する機会に感謝する。パリのサン・ミッシェル63通りにある喫茶店A. Capouladeで"解析教程草稿委員会"の創始者達が会合したのは、まさしく70年前の今日だった。 この会合には、(最近百歳になった)アンリ・カルタン(1904? )、クロード・シュヴァレー(1909?1984)、ジャン・デルサルト(1903?1968)、ジャン・デュドネ(1906?1992)、ルネ・ド・ポッセル(1905?1974)、アンドレ・ヴェイユ(1906?1998)がいた。 このプロジェクトの定めは、ブルバキ又はたぶんElements de mathematique(現代数学の基礎概念の影響力のある解説書のシリーズ)の著者である登場人物ニコラ・ブルバキの物語だろう。 この講演は、フランスのあらゆる研究に資金を提供するヴァッサー大学のGabriel Snyder Beck基金に援助されているプロジェクトに基づく。 2000年の始めにOberwolfachでの会議で、ブルバキの論文と内部資料の公文書館がパリで間もなく開かれると聞き、Beck基金は私がその公文書館に訪問出来るよう資金を出した。この公文書館の管理者Liliane BeaulieuとChristian Houzelは、2003年7月の私のパリ訪問期間中、親切に歓待し、私がブルバキ論文の中をかき回すことを許してくれた。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/177
178: １３２人目の素数さん [] 2017/01/01(日) 21:59:27.67 ID:55xmNTx6 >>174 新春のお笑いをお前が演るっていうから期待してるんだけど さあさ、>>117に答えてみろよ >>173のようなコピペでごまかしても笑いは取れませんよｗ 強がって周囲の人間を小馬鹿にしてきたお前は>>117にどう答えるのか？ スレ住人はageageでみな刮目しておりますｗ きっちり答えてみせろ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/178
179: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/01(日) 21:59:28.74 ID:cqs+IUeE つづき 歴史的研究は問題を提供し、それに対していろいろな手法が採用可能だ。私の関心は代数トポロジーの歴史を含み、代数トポロジーの発展は20世紀の間、その数学に大きく影響した。 第二次大戦に続く年々が、この物語の頂点を表現し、ブルバキの多くの重要なメンバーが発展に貢献した。 しかし、代数トポロジーはElementsが扱うトピックの中に出現していない(一般的に認識されているように、他の多くの重要なトピックとともに)。私が大学院生だった間、カルタン、Koszul、Eilenberg、シュヴァレーによって代数トポロジーを扱った200ページ長の原稿がElementsのために用意されていたという噂を聞いた。 更に、このドキュメントは微分形式の使用、すなわちエリ・カルタン(1869?1951)(アンリの父親)の代数トポロジーを基礎にした。 私が聞いた話によれば、ジャン・ピエール・セール(1926? )とArmand Borel(1923?2003)の学位論文が刊行された時に、その原稿は破棄された。セールとBorelの次の論文は焦点をトポロジーに変え、微分幾何学的手法から離れ、より代数的手法、すなわち主としてスペクトル列とSteenrod代数に移したので、原稿は陳腐化した。 私の疑問: それでは、この原稿の中は何だったのか。私が閲覧出来るのだろうか? 歴史家はキーとなる出来事の前後の状況を見ることに垂涎する。 さて、その原稿は実際に存在するなら、そこには無かった。しかし、私が出来た保管作業はブルバキの働きと精神に多くの洞察を与えたから、この報告でいくつかの発見を詳しく詳述しよう。私の物語を展開しながら、ブルバキ前後の公理的手法(彼等の解説の特徴の一つが批判を受けて来た)の魅力を考えたい。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/179
180: １３２人目の素数さん [] 2017/01/01(日) 22:00:07.23 ID:55xmNTx6 （おまえがコピペを繰り返すなら俺もコピペで返すわｗ） >>174 新春のお笑いをお前が演るっていうから期待してるんだけど さあさ、>>117に答えてみろよ >>173のようなコピペでごまかしても笑いは取れませんよｗ 強がって周囲の人間を小馬鹿にしてきたお前は>>117にどう答えるのか？ スレ住人はageageでみな刮目しておりますｗ きっちり答えてみせろ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/180
181: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/01(日) 22:00:25.45 ID:cqs+IUeE つづき ブルバキとは何者か? パリでの会合はアンドレ・ヴェイユによって10.XII.1934と呼ばれた。ヴェイユは当時アンリ・カルタンとともにストラスブール大学の教員だった。数学免許のための3つの標準コース(一般物理学と標準力学と並んで)の一つ、微積分コースに彼等は責任があった。 標準テキストは第一次大戦前に書かれたエドゥアルド・グルサ(1858?1936)によるCours d'Analyse mathematiqueだった。カルタンはそれを一般論を欠き、不完全だと思った。明確な例(それ自体も物語を持つ)はストークスの定理の体系化である。それは以下のように書かれる。 ∫∂Xω＝∫Xdω ここでωは微分形式、dωは外微分、Xは積分領域、∂XはXの境界である。 目前のすべてが滑らかな時には証明は明らかだが、積分領域がもっと一般的な場合、この公式の重要性はGeorges De Rham(1903?1990)の有名な定理(1931年に証明され、そのような多様体のトポロジーにリー群上の不変積分を関連付けるというエリ・カルタンの問題を解決した)の内容である。 カルタンのしつこいねだりはヴェイユに自分達が満足するテキストを書こうという案を出させた。ヴェイユはカルタンに"何故僕等が集結して、そのような問題をきっぱり解決しないのか。そうすれば、もう君は僕を質問攻めで困らせないだろう"と言ったと書いている。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/181
182: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/01(日) 22:01:17.15 ID:cqs+IUeE つづき パリでの本を書くための計画を立てる最初の会合はジュリア・セミナーの会合の後だった。 ジュリア・セミナーは、アンドレ・ヴェイユの言葉で言えば、フランス人数学者の"一世代が1914?1918の犠牲により事実上抹殺された"後、フランス数学の断層を埋めるためのヴェイユとカルタンのもう一つの試みだった。 セミナーはこれらの急進分子によりドイツでのセミナーを真似て組織されたが、ソルボンヌでの教室を得るためにスポンサーを必要とした。ガストン・ジュリア(1893?1978)はエコール・ノルマル・シュペリウールで彼等の最も若い先生で、進んで彼等のスポンサーとなった。 セミナーはー年に一トピックスをテーマとし、1933-34年に群と代数で始まり、そしてヒルベルト空間、トポロジーへと進んだ。セミナーは1939年まで続いたが、ブルバキ・セミナーに取って変わられた。 委員会の最初の計画は解析学のテキストだったが、ヴェイユによれば"微積分に対して25年間のカリキュラムを改善する"となった。このテキストは出来るだけ現代的、非常に役立つ解説書、最終的には出来るだけ厳密かつ多方面的となった。 ヴェイユは既に友人の内で出版者Enriques Freymannを知っていた。FreymannはMaison Hermannの主任編集者かつ経営者だった。新機軸の中でも、デルサルトにより主張された提案は、専門家のリーダーシップではなく集団でテキストを書くということだった。 最初の予想では、テキストは1000?1200ページからなり、およそ6ヶ月で完了するだろうだった。6人の初期グループは、Paul Dubreil(1904?1994)、Jean Leray(1906?1998)、Szolem Mandelbrojt(1899-1983)が加わって、9人に拡がった。DubreilとLerayは、1935年7月の夏ワークショップの前にJean CoulombとCharles Ehresmann(1905?1979)に変わった。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/182
183: １３２人目の素数さん [] 2017/01/01(日) 22:01:19.06 ID:55xmNTx6 スレ主の主張>>40をコピペ ////////////////////// >>34-37 にお答えしよう >>37に引用頂いている通りだが 時枝>>4-5に従って 無限を扱うには，(2)有限の極限として間接に扱う，を実行してみよう １．時枝>>2により s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^N これを、一度有限に落とす。数列の長さL＝nを考えよう ２．s = (s1，s2，s3 ，・・・，sn)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・，s'n )∈R^nとなる 「ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版)」は、そのままでいい ３．「任意の実数列S に対し，同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)」を、r =（=r(s)）= (r1，r2，r3 ，・・・，r n-1, r n)と表現しよう 同値の定義より、sn=r n だ。そして 「sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す」も、そのままでいい。とすると、決定番号d = d(s)=nとなることに注意をうながしておく ４．で、s = (s1，s2，s3 ，・・・，sn-1,r n) と書くことができる 今、 sn-1 ≠ r n-1と仮定しよう ５．そうすると、明らかにd = d(s) = nだ ６．r = (r1，r2，r3 ，・・・，r n)= (r1，r2，r3 ，・・・，r n-1, r n)として、>>38の引用に当てはめてみよう Δr= s - r =(s1，s2，s3 ，・・・，sn-1,r n) - (r1，r2，r3 ，・・・，r n-1, r n)= (s1-r1，s2-r2，s3-r3 ，・・・，sn-1-r n-1 ，0 ) となり、なんの不都合もない Δr= (s1-r1，s2-r2，s3-r3 ，・・・，sn-1-r n-1 )として、数列の長さLを、n-1と考えることも可能 ７．ここで、極限を考える。n→∞だ。d = d(s) = nだった lim (n→∞)d で、d→∞。そして、極限を考えても、同値s 〜 r は不変だ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/183
184: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/01(日) 22:02:06.03 ID:cqs+IUeE つづき 最初のブルバキ会議はヴォージュ山脈にあるベス・アン・シャンデスで開かれた。このワークショップで、解析学をサポートするであろう抽象的(新しく現代的な)概念を扱う抽象パッケージを加えるプロジェクトを発展させる提案があった。 これらは抽象的集合論、代数、特に微分形式、トポロジーを含み、存在定理は特に重視された(Leray)。 そのパッケージは結局、有能な数学者が欲しい結果の場所を見つけられ、必要なら結果自体を与えられるように編成された役立つ結果の要約巻となった。もっとはっきり言えば、最後の刊行、第36巻、微分多様体と解析多様体の2部はそんな要約だ。ストークスの定理の記述があるのはここである。 最初の会議中に、位相空間に関する測度の新しい結果が証明され、ノートは書き上げられ、説明会に提出された。 グループのブルバキという名前は学校の物語から来た。1923年、デルサルト、カルタン、ヴェイユはエコール・ノルマル・シュペリウールで新入学クラスにいた。 その時に、彼等はかすかにスカンジナビア人の名前の教授から講義紹介を受け、講義受講を強く勧められた。その話し手は悪戯者のRaoul Hussonだが、偽髭を付けはっきりしないアクセントで話した。 古典的函数論から始まって、話は聴衆に"ものも言えない素晴らしい"と言ってから、ブルバキの定理でクライマックスを迎えた(このブルバキはナポレオンに帯同した将軍)。ヴェイユはこの話を思い出し、その名前が採択された。だが、何故ニコラなのか。論文の提出に対して著者はファーストネームを必要とした。 ブルバキ・ニコラと洗礼名をつけたのはヴェイユの妻エヴェリンだった。ノートは不幸なポルダヴィア人数学者を擁護したエリ・カルタンによって科学アカデミーに渡された。ノートは受理され刊行された。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/184
185: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/01(日) 22:03:03.67 ID:cqs+IUeE つづき ブルバキが採用した編集方法は、共同参加を維持する願いから発展した。テキストは会合の前に持込まれ、1ページ毎、1行毎にグループに発表され、グループは何かを言うが、全く批判だった。 改訂はグループのもう一人のメンバーに渡され、新しい草稿が出来た時に、そのプロセスは繰り返された。満場一致が十分な回数を重ねた後に、テキストの厳密さ、又はトピックに関してグループの疲労困憊のどちらかのために、テキストはまとめられ(通常、デュドネによって)、出版者に送られた。 余話: 公理的手法 見習い期間中、ヴェイユは多方面に旅行したが、国家社会主義が台頭した間、主にドイツで過ごした。彼は数論に関心を持っていたので、ドイツ学派の数学、特にダヴィド・ヒルベルト(1862?1943)とゲッティンゲン学派によって率いられた公理的アプローチを敬っていた。 19世紀から20世紀までフランス数学は解析学が有力だった。数論的性質の結果でさえ、解析的手法を通して証明された。多くの分野でヒルベルトのアイデアは他の所の数学者を惹き付け、ブルバキのメンバーが彼等のプロジェクトを形成するモデルを求めた時に公理的手法に向かった。 この現象は先例があった。E.H. Moore(1862?1932)が1900年頃シカゴ大学数学部門を率いるために来た時、彼はヒルベルトの幾何学の基礎のスタイルを現代的で厳密かつ真似るべき手本として意識的に採用した。 シカゴの初期の教え子の内でも(オズワルド・ヴェブレン(1880?1960)、Frederick Owens、R.L. Moore(1882?1974))、彼等の学位論文が幾何学の基礎、公理体系、ヒルベルトの達成した記述の節約に関したものだと分かる。 この、いくつかの研究の目標は幾何学を記述する公理系を縮小(冗長を見つけ出し、ユークリッドの恵みに達成すると思う必要最小のものを示すこと)することだった。しかし、これらの目標は、賞賛に値するけれども、公理的手法の深刻さを使い果たさない。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/185
186: １３２人目の素数さん [] 2017/01/01(日) 22:03:05.01 ID:55xmNTx6 スレ主のアホコメ>>40に対する指摘>>117 ////////////////////// >>40 スレ主が極限を分かって無いことがよくわかるレスだな 極限の交換はいつでもできるとは限らないと習いませんでしたか？ スレ主は正規の数学教育を受けてないの？ 受けていれば、極限の順序の交換に慎重になるはず。 この場合「有限数列を無限数列にする極限」と「無限数列列の極限」の交換。 交換できることを示さず、交換しているのはスレ主がスレ主が極限を分かって無いことの明らかな証拠。 >すなわち、nを自然数としたとき、数列s_nを初項から第n項までを1、それ以降を0とする数列とする。 >このとき、すべての自然数nについて、s_nはs_1の同値類に属すのは明らか。 >では、lim[n→∞]s_n はs_1の同値類に属すか？ 問題追加 lim[n→∞]s_n はどんな数列か？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/186
187: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/01(日) 22:03:59.45 ID:cqs+IUeE つづき 大雑把に言えば、公理的手法は、いくつかの分析の後、定理の集まりを推論されるような公理系を示す数学創造へのアプローチだ。公理系の正しさを示す目標は直感の欺瞞を避けることである。 ヒルベルトの代数的整数論(報告書)と不変式論における経験は彼をもっと抽象一般化へ通じる道に足を踏ませた。 1898?99年の講義で彼が初等幾何へ向かった時、ゲッティンゲンの学生たちは驚いた。ヒルベルトの初期研究歴で既に、"点、直線、平面の代わりに、人は机、椅子、ビールのジョッキと言えるはずだ"と幾何学について注意した。 基礎における彼の目標は、"幾何学に対して単純完璧な独立した公理系を選び、これらから、異なる公理群の意味と個別の公理から導かれる結論の範囲を可能な限り明確に引出すような形で最も重要な幾何学的定理を引出すこと"だった。 基礎はすぐに成功し、Henri Poincare(1858?1912)から次のような反応を引出した。 "論理的見地だけがヒルベルト教授の興味を掻き立てるらしい。命題の列があれば、彼は先ず第一にteh[訳注:英語の定冠詞theがよくtehと書き間違い易いことを例にして皮肉っているのです]から論理的にすべてが成立すると分かっている。 この最初の命題とその心理的起源に彼は関心を持たない....公理は自明のことと仮定されている。それらがどこから来ているのか私達は分からない。それはAをCと仮定するように安易だ....彼の研究は従って不完全だが、これは彼に対する批判ではない。 不完全なものは必ずや諦めて不完全を甘受するはずである。彼は数学哲学を一歩前進させたことで十分である....” つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/187
188: １３２人目の素数さん [] 2017/01/01(日) 22:04:14.69 ID:55xmNTx6 >>117はスレ主のでたらめに対する数学的な指摘だ それを無視して無関係なコピペで逃げ回るなら数学板以外でやれよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/188
189: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/01(日) 22:07:45.40 ID:cqs+IUeE つづき ヒルベルトの試みの哲学的及び基本的方面ははっきりしている。 しかし、数学的方面は基礎の大部分の議論の中心ではない。独立した研究のうちでも、彼は新しいオブジェクトを導入して来た―特に、非アルキメデス幾何学。 公理群の中の関係を離すことによって、一つ又はそれより多くの仮定の失敗がどのようにして新しい結果を生むか人は発見する―この活気性のモデルが非ユークリッド幾何学だ。彼の代数と数論での経験も、公理的手法が、新しい議論を作り、新しい事象を発見し、おまけに過去を整然とした形で保持出来る手段を高めるという見解を立証した。 ブルバキにとって重要なもう一つのゲッティンゲンの成果も同じ考え方だ。B.L. ファン・デル・ヴェルデン(1903?1996)による現代代数学が1930年に出現し、ある結果へのアプローチでの類似性を示す公理に基づいた代数学の系統だった解説を与えた。同型写像の概念は代数学の中で重要な役割を果たし、後にブルバキの中心思想として浮上する。 実のところヒルベルトとファン・デル・ヴェルデンは、過去(理論の完璧な記述を取り戻すこと、が正式な表明となっているけれども)が目的ではなく、前向き(多くの新しい結果を構築出来るスリムな足場を読者に与えること)な数学的目標を求めたと理解することが重要である。 この意見が現代数学のなされた来た方法の一部となった度合いを、私達がこの種のプレゼンテーションに対して持つ自然な感触によって測ることが出来る。いつもそうだとは限らなかった。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/189
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