現代数学の系譜11 ガロア理論を読む27 [無断転載禁止]©2ch.net

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292: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/02(月) 21:40:14.28 ID:MUXssChK

つづき

The Bourbaki project was implemented in the period of very rapid progress in mathematics. Many books of the treatise became obsolete at the exact moment of publication.

In particular, functional analysis had been developing contrary to what one might imagine reading the book Topological Vector Spaces.

But to a failure was doomed the heroic and ambitions plan of Bourbaki to present the elements of the whole mathematics of the twentieth century in a single treatise along the methodological lines of Euclid.

Mathematics renews and enriches itself with outstanding brilliant achievements much faster than the books of Bourbaki’s treatise were compiled.

There is no wonder that the mathematical heroes who create the twentieth century mathematics have distinctly and immediately scented the shortcomings of Bourbaki. The treatise encountered severe criticism and even condemnation since it omits many important topics.

As usual, this serious criticism convened all sorts of educationists, would-be specialists in “propaedeutics” and “methodology” who are hardly aware of what is going on in the real mathematics.

Everyone knows that to criticize a book for incompleteness is a weak argument since it is strange to judge an article for what is absent in this article.

Grudges against the content of the treatise transform by necessity to the criticism of its form.
The terseness, conciseness, and lapidary of the style of exposition fall victim to criticism and even ostracism by the adversaries of the malicious “bourbakism” in education.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/292

297: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/03(火) 00:15:51.79 ID:trvSnYCN

つづき

a5 ≠ 0 なら、少数第６位から数列は一致する。整数部分の0を無視すると、決定番号d=6となる

さて確率を考えよう。ここで、場合の数を計算することで確率が求まることに注意しよう

a5 ＝ 0 の場合の数は、10^4通りある。一方、a1a2a3a4a5の全ての順列は、10^5通りある。

従って、a5 ＝ 0 の場合の確率は、10^4/10^5=1/10。　a5 ≠ 0の確率は、（10^5 - 10^4）/10^5=9/10。つまり、決定番号d<=5の確率0.1,決定番号d=6の確率0.9。

さて、いま数列を２つ a+ b', a'+ b'' あるとして、b'≠b''で、b''は別の循環小数とする

a'=0.a'1a'2a'3a'4a'5 とする

同様に、a'5 ＝ 0 の場合の確率は、10^4/10^5=1/10。　a'5 ≠ 0の確率は、（10^5 - 10^4）/10^5=9/10。決定番号d<=5の確率0.1,決定番号d=6の確率0.9。

a'+ b''の決定番号が他の列の決定番号よりも大きい確率は、
a'+ b''の決定番号d=6で、かつa+ b'の決定番号d<=5を考えて、確率0.09 (=0.9*0.1) となる。この場合が、ほぼ支配的だ。だから、a+ b'の決定番号が他の数列より大きくない確率は、ほぼ9割。

この場合、時枝記事>>3の類推からすれば、２列なので確率は1/2=0.5にすぎないというべきところなのだが・・

さて、３列で、a+ b'、a'+ b''、a''+ b''' を考える。
同様にして、a''+ b'''が、他の二つより大きい確率は、a''+ b'''の決定番号d=6で、かつ他の二つの決定番号d<=5を考えて、確率0.009 (=0.9*0.1*0.1) となる。この場合が、ほぼ支配的だ。だから、a''+ b'''の決定番号が他の数列より大きくない確率は、ほぼ99％。

この場合、時枝記事>>3の類推からすれば、３列なので確率は1/3=0.33・・・にすぎないというべきところなのだが・・

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/297

303: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/03(火) 10:05:10.38 ID:trvSnYCN

>>294 関連
再録
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む24 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1475822875/
654 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/10/29(土) 13:43:22.34 ID:vwUy6eEC [25/46]

あなたのまったく逆を渕野先生が書いている。>>361だ
”厳密性を数学と取りちがえるという勘違い”
https://www.amazon.co.jp/dp/4480095470
数とは何かそして何であるべきか デデキント 訳解説 渕野昌 筑摩書房 2013

数学的直観と数学の基礎付け 抜粋（ああ、文字化けがあるので、修正した）

数学の基礎付けの研究は，数学が厳密
でありさえすればよい， という価値観を確立しようとして
いるものではない.これは自明のことのようにも思える
が，厳密性を数学と取りちがえるという勘違いは，たとえ
ば数学教育などで蔓延している可能性もあるので，ここに
明言しておく必要があるように思える.

多くの数学の研究者にとっては，数学は，記号列として
記述された「死んだ」数学ではなく，思考のプロセスとし
ての脳髄の生理現象そのものであろうしたがって，数学
はその意味での実存として数学者の生の隣り合わせにある
もの，と意識されることになるだろうそのような「生き
た」「実存としての」(existentialな)数学で問題になるの
は，アイデアの飛翔をうながす(可能性を持つ)数学的直
観」とよばれるもので，これは， ときには，意識的に厳密
には間違っている議論すら含んでいたり，寓話的であった
りすることですらあるような，かなり得体の知れないもの
である.

>>505より
数とは何かそして何であるべきか デデキント 訳解説 渕野昌 筑摩書房 2013
数学的直観と数学の基礎付け
訳者による解説とあとがき P314 だ
(引用終り)

再度
"厳密性を数学と取りちがえるという勘違いは，たとえ
ば数学教育などで蔓延している可能性もあるので，ここに
明言しておく必要があるように思える."

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/303

304: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/03(火) 10:13:47.89 ID:trvSnYCN

（再録）
>>223-224 天才 セドリック・ヴィラニのひらめきが、下記。まさに、
渕野先生「アイデアの飛翔をうながす(可能性を持つ)数学的直
観」とよばれるもので，これは， ときには，意識的に厳密
には間違っている議論すら含んでいたり，寓話的であった
りすることですらあるような，かなり得体の知れないもの
である.」の実例

223 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/01/02(月) 07:33:23.56 ID:MUXssChK [7/59]
つづき

12:53
この矛盾する現象は 「ランダウ減衰」と呼ばれ プラズマ物理における 最も重要な事象の１つで その存在は数学で証明されました とはいっても この現象は完全には 数学的に理解されていませんでした
かつての私の教え子であり 主要共同研究者のクレマン・ムーオと共に? その時パリにいたのですが? 何ヶ月もその証明に 取り組んでいました
実は 私は 解けたと勘違いして 公表してしまっていたのですが 実際には その証明は成り立っていなかったのです
百ページ以上の複雑な数学的論理 多くの発見や 膨大な計算にも拘らず うまく行きませんでした
プリンストンでの その夜は 証明を構築する過程の論理が うまく繋がらなく気がどうかなりそうでした エネルギーと経験 そしてあらゆる手法を 駆使していたのに 何もうまく行きませんでした
夜中の１時 ２時 ３時になっても 同じ状態でした ４時頃になり 落ち込んだまま就寝し その数時間後 目覚め 「子供たちを学校に連れて行く時間だ」 とその時 何だ これは？ 頭の中で こう言う声が 確かに聞こえたのです 「第２項目を 式の反対側に持って行き フーリエ変換して L2空間で逆変換せよ」

略

14:21
これだ！ それが解決への第一歩でした

つづく

224 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/01/02(月) 07:35:11.40 ID:MUXssChK [8/59]
つづき

14:26
このように 休息していたと思っていたのに 実は私の脳は働き続けていたのです そんな時には 野心も同僚の事も頭にはありません 取り組んでいる問題と自分だけです
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/304

306: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/03(火) 10:26:22.61 ID:trvSnYCN

数学はつねに未完成（不完全性定理）

http://www.h5.dion.ne.jp/~terun/doc/fukanzen.html
不完全性定理 - 哲学的な何か、あと科学とか: 日付不詳
(抜粋)
不完全性定理　1930年頃

一般的に言って、
「数学的に証明された」ことについては、もう議論の余地はない。

どんなに年月が経とうと、決して反論されることもなければ、
科学理論のように、よりすぐれた理論に取って代わられることもない。
主義主張にも善悪にも関係なく、また、どんな嫌なヤツが言ったとしても、
数学的に証明されたことは常に正しい。

まさに絶対的な正しさ。
「数学的証明」こそ、永遠不変の真理なのである。

だからこそ、数学を基盤にし、証明を積み重ねていけば、
いつかは「世界のすべての問題を解決するひとつの理論体系」
「世界の真理」
に到達できるのではないかと信じられていた。

さて、１９３０年頃のこと。
数学界の巨匠ヒルベルトは
「数学理論には矛盾は一切無く、
　どんな問題でも真偽の判定が可能であること」
を完全に証明しようと、全数学者に一致協力するように呼びかけた。
これは「ヒルベルトプログラム」と呼ばれ、
数学の論理的な完成を目指す一大プロジェクトとして、
当時世界中から注目を集めた。

そこへ、若きゲーテルがやってきて、
「数学理論は不完全であり、決して完全にはなりえないこと」
を数学的に証明してしまったから、さあ大変。

ゲーデルの不完全性定理とは以下のようなものだった。

１）第１不完全性原理
　「ある矛盾の無い理論体系の中に、
　　肯定も否定もできない証明不可能な命題が、必ず存在する」

２）第２不完全性原理
　「ある理論体系に矛盾が無いとしても、
　　その理論体系は自分自身に矛盾が無いことを、
　　その理論体系の中で証明できない」

不完全性定理は述べる。
「どんな理論体系にも、証明不可能な命題（パラドックス）が必ず存在する。
　それは、その理論体系に矛盾がないことを
　その理論体系の中で決して証明できないということであり、
　つまり、おのれ自身で完結する理論体系は構造的にありえない」

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/306

310: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/03(火) 12:43:51.30 ID:trvSnYCN

>>308
おっちゃん、どうも。スレ主です。
このスレで証明を書かないのはありがたい！（＾＾

>多くの人にとって、数学的に1番身近な公理体系がZFCだから、ZFCの中で時枝問題を考えましょうということ。
>そうすると、時枝問題は正しくなる。少なくともこのことを、スレ主は否定していることになる。

時枝自身>>4が書いている
「もうちょっと面白いのは，独立性に関する反省だと思う.
確率の中心的対象は，独立な確率変数の無限族
X1，X2，X3，…である.
いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である.
確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.

しかし，素朴に，無限族を直接扱えないのか?
扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.
n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって，
その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら，
当てられっこないではないか－－他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.」だ

つまり、”その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立”を否定している
本当にそうなか？　”まるまる無限族として独立”なる無定義用語を使っていませんか？
”確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義される”から、「その箱のXは、－－他の箱から情報は一切もらえない」が導かれると思うよ

証明を書くには、”他の箱から情報をもらう”とは？　という定義が必要だろうし
でも、”勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた”というから

ともかく、ある無限数列のしっぽから、その数列のどれかの箱Xが情報を貰うということだから、箱Xは独立でなく、なんらかの関連が付くということだろ？
それは、「任意の有限部分族が独立のとき，独立」を破り、矛盾を生じると思うよ

それは時枝も矛盾を感じているから、”私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた”という言い訳１行で済ませているが、本来要証明だ（証明できないだろうが）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/310

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