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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む27 [無断転載禁止]©2ch.net (517ﾚｽ)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む27 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/
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305: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/03(火) 10:21:26.28 ID:trvSnYCN 人の直観、それはゲーデルの加速定理（下記）の例かもしれない ディラックのデルタ関数。デルタ関数なしでも、同じことは古い関数論で可能かもしれない・・。が、デルタ関数を導入することで、議論がすっきり見通しよくなるのだ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%AE%9A%E7%90%86 ゲーデルの加速定理 (抜粋) ゲーデルの加速定理（ゲーデルのかそくていり、英: Godel's speedup theorem）は ゲーデル (1936)で証明された。この定理によれば、弱い形式的体系では非常に長い形式的証明しか存在しないが、より強い形式的体系では極めて短い形式的証明が存在する、というような文が存在する。 クルト・ゲーデルはそのような性質を持つ文を具体的に構成した。それはn階算術の体系で証明可能な命題であってn+1階算術ではより短い証明を持つものが存在するというものである。 ハービー・フリードマンは上の性質を満たすような明示的で自然な例をいくつか見つけた。それはペアノ算術やほかの形式的体系における文であり、その最短の証明は非常に長い(Smory?ski 1982)。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/305
306: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/03(火) 10:26:22.61 ID:trvSnYCN 数学はつねに未完成（不完全性定理） http://www.h5.dion.ne.jp/~terun/doc/fukanzen.html 不完全性定理 - 哲学的な何か、あと科学とか: 日付不詳 (抜粋) 不完全性定理 1930年頃 一般的に言って、 「数学的に証明された」ことについては、もう議論の余地はない。 どんなに年月が経とうと、決して反論されることもなければ、 科学理論のように、よりすぐれた理論に取って代わられることもない。 主義主張にも善悪にも関係なく、また、どんな嫌なヤツが言ったとしても、 数学的に証明されたことは常に正しい。 まさに絶対的な正しさ。 「数学的証明」こそ、永遠不変の真理なのである。 だからこそ、数学を基盤にし、証明を積み重ねていけば、 いつかは「世界のすべての問題を解決するひとつの理論体系」 「世界の真理」 に到達できるのではないかと信じられていた。 さて、１９３０年頃のこと。 数学界の巨匠ヒルベルトは 「数学理論には矛盾は一切無く、 どんな問題でも真偽の判定が可能であること」 を完全に証明しようと、全数学者に一致協力するように呼びかけた。 これは「ヒルベルトプログラム」と呼ばれ、 数学の論理的な完成を目指す一大プロジェクトとして、 当時世界中から注目を集めた。 そこへ、若きゲーテルがやってきて、 「数学理論は不完全であり、決して完全にはなりえないこと」 を数学的に証明してしまったから、さあ大変。 ゲーデルの不完全性定理とは以下のようなものだった。 １）第１不完全性原理 「ある矛盾の無い理論体系の中に、 肯定も否定もできない証明不可能な命題が、必ず存在する」 ２）第２不完全性原理 「ある理論体系に矛盾が無いとしても、 その理論体系は自分自身に矛盾が無いことを、 その理論体系の中で証明できない」 不完全性定理は述べる。 「どんな理論体系にも、証明不可能な命題（パラドックス）が必ず存在する。 それは、その理論体系に矛盾がないことを その理論体系の中で決して証明できないということであり、 つまり、おのれ自身で完結する理論体系は構造的にありえない」 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/306
307: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/03(火) 10:57:52.14 ID:trvSnYCN >>303-306 どこかで渕野先生が書いていたように思うが 数学はつねに未完成（不完全性定理）だから、豊かなのだと で、数学の厳密性は、数学を使う他の分野から見れば、安心なのだ。数学的な証明が与えられると、あとはそれを基礎にどんどん進んでいける安心感 一方で、これだけ数学の内容が豊富になって、各分野のレベルが高くなると、なんらかの加速装置（加速定理）が求められているように思う それが、マクレーンの圏論であったり、グロタン先生の代数幾何の仕事だったように思う。加速装置を作ったという視点 だが、もう全てを追い切れないのかもしれない Bourbakiに欠けているのは、天才 セドリック・ヴィラニのひらめき（＝渕野先生「アイデアの飛翔をうながす(可能性を持つ)数学的直観」）や、加速装置（加速定理）という視点 加速装置を作るべし（創造）という視点 まあ、いわば、Bourbakiは、山に登るのに一歩一歩。「数学には王道はありません」と だが、物理系のウィッテン>>103（ 受賞者記念講演録 | 京都賞）や、立川ら >>78(AGT 対応の数学と物理)が、やったことは、取りあえずドローン飛ばして、山の地形を調べますと そうすると、数学者がふもとから見ている風景とは違うランドスケープが見える それが、20世紀後半から頻繁になってきた。それも、Bourbakiのスコープ外だろうと。王道は、（作らないと）ないかも知れないが、ランドスケープ（ 直観的理解（渕野かな））は重要だねと そこは忘れないようにしたい 追伸 余談だが、 積分の順序を云々するまえに、やるべきこと（ランドスケープを得るべし）があるだろうと リーマンは、まさにリーマン球で一変数複素関数論のランドスケープを与え、リーマン球は非ユークリッド幾何の１例となった http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/307
308: １３２人目の素数さん [sage] 2017/01/03(火) 11:54:55.58 ID:r+v/8wFp >>254 おっちゃんです。 厳密でない数学を否定してはいない。 だが、ZFCの公理系に含まれる選択公理と相反する公理を付け加えた公理体系の中では偽になり、 かつZFCの中では真になるような、公理体系によって真偽が変わる命題は存在する。 例えば、決定性公理や確率論のソロヴェイの公理など。 そのような命題は、いつでも自由に応用出来るとは限らない。 ZFCと、ZFCとは相反する公理系とをごちゃ混ぜにしたような公理系の構成は出来ないから、 そのような命題を下手に現実社会で応用すると、論理的には正しいが、数学的には間違いになることがある。 決定性公理が前提となる1つの公理になっているゲーム理論も、そのような理論である。 ゲーム理論の公理系に反するような、ZFCで証明出来る命題は存在する。 選択公理を使わないと証明出来ない命題はそうなる。 選択公理を前提にしたZFCの数学の体系と決定性公理を前提にしたゲーム理論の数学の体系とは矛盾する。 多くの人にとって、数学的に1番身近な公理体系がZFCだから、ZFCの中で時枝問題を考えましょうということ。 そうすると、時枝問題は正しくなる。少なくともこのことを、スレ主は否定していることになる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/308
309: １３２人目の素数さん [] 2017/01/03(火) 12:10:41.20 ID:FPvZOdpu こら、運営のおっさん、さっさと焼かんかい http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/309
310: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/03(火) 12:43:51.30 ID:trvSnYCN >>308 おっちゃん、どうも。スレ主です。 このスレで証明を書かないのはありがたい！（＾＾ >多くの人にとって、数学的に1番身近な公理体系がZFCだから、ZFCの中で時枝問題を考えましょうということ。 >そうすると、時枝問題は正しくなる。少なくともこのことを、スレ主は否定していることになる。 時枝自身>>4が書いている 「もうちょっと面白いのは，独立性に関する反省だと思う. 確率の中心的対象は，独立な確率変数の無限族 X1，X2，X3，…である. いったい無限を扱うには， (1)無限を直接扱う， (2)有限の極限として間接に扱う， 二つの方針が可能である. 確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ. しかし，素朴に，無限族を直接扱えないのか? 扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう. n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって， その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら， 当てられっこないではないか−−他の箱から情報は一切もらえないのだから. 勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.」だ つまり、”その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立”を否定している 本当にそうなか？ ”まるまる無限族として独立”なる無定義用語を使っていませんか？ ”確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義される”から、「その箱のXは、−−他の箱から情報は一切もらえない」が導かれると思うよ 証明を書くには、”他の箱から情報をもらう”とは？ という定義が必要だろうし でも、”勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた”というから ともかく、ある無限数列のしっぽから、その数列のどれかの箱Xが情報を貰うということだから、箱Xは独立でなく、なんらかの関連が付くということだろ？ それは、「任意の有限部分族が独立のとき，独立」を破り、矛盾を生じると思うよ それは時枝も矛盾を感じているから、”私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた”という言い訳１行で済ませているが、本来要証明だ（証明できないだろうが） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/310
311: １３２人目の素数さん [sage] 2017/01/03(火) 12:55:09.22 ID:XwgPLitH >>302 決定番号ごとに数列を出題するわけではなくて出題された1つの数列から 複数の決定番号を求めるからスレ主が書いた場合分けは関係なくなるよ 100列の場合だと{d1, ... , d100}_1, {d1, ... , d100}_2, ... から選ぶことに なるので{d1, ... , d100}の100個の数字だけを考えれば単純に100列で確率99/100 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/311
312: １３２人目の素数さん [sage] 2017/01/03(火) 16:45:07.26 ID:r+v/8wFp >>312 >つまり、”その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立”を否定している >本当にそうなか？ ”まるまる無限族として独立”なる無定義用語を使っていませんか？ 各 i=1,2,… に対して、P_i を確率測度とし、見本空間 S_i が有限集合、事象 E_i も有限集合である 確率空間 (S_i, E_i, P_i) を考えて、X_i は E_i における確率変数とする。 そして、可算無限個の確率空間 (S_i, E_i, P_i) i∈N＼{0} の直積 Π(S_i, E_i, P_i) を考える。 そうすることで、確率変数 X_1, X_2, … は独立な可算無限個の確率変数となる。 ”まるまる無限族として独立”は、そう意味として解釈出来る。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/312
313: １３２人目の素数さん [sage] 2017/01/03(火) 16:56:16.60 ID:r+v/8wFp >>310 >>312は、>>310(スレ主)宛て。自己レスしてしまった。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/313
314: １３２人目の素数さん [sage] 2017/01/03(火) 17:30:43.17 ID:r+v/8wFp >>310 >ともかく、ある無限数列のしっぽから、その数列のどれかの箱Xが情報を貰うということだから、 >箱Xは独立でなく、なんらかの関連が付くということだろ？ >それは、「任意の有限部分族が独立のとき，独立」を破り、矛盾を生じると思うよ で、>>312のように確率空間や確率変数 X_1, X_2, … を定めたら、確率空間 (S_i, E_i, P_i) と i, i≧2 個以上の有限個の確率空間の直積 Π_{k=1,i}(S_k, E_k, P_k) を考える。 そうして、有限個のときのことを考えて、極限を取って、確率を求めることにより、 時枝問題での勝つ確率は1なることが分かる。勿論、確率空間の設定はこれだけでは不十分。 以前やった高校の確率論で極限を取って時枝問題で勝つ確率を1と求めたことは、 そのことを確率測度を使わずにしましたということ。矛盾は生じない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/314
315: １３２人目の素数さん [sage] 2017/01/03(火) 17:37:22.74 ID:r+v/8wFp >>310 >>314の訂正： Π_{k=1,i}(S_k, E_k, P_k) → Π_{k=1,…,i}(S_k, E_k, P_k) じゃ、おっチャンネル(おっちゃん寝る)。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/315
316: １３２人目の素数さん [sage] 2017/01/03(火) 17:47:46.46 ID:XwgPLitH >>310 > (1)無限を直接扱う， この無限は実無限のこと > ”確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義される” これは可能無限 > ともかく、ある無限数列のしっぽから、その数列のどれかの箱Xが情報を貰うということだから、 > 箱Xは独立でなく、なんらかの関連が付くということだろ？ 代表元(r1, r2, ... , rn, ... )のたとえば2番目を5にしたいと思ったらr2だけを個別に変えることは できずに属する類を変化させて(r'1, r'2=5, ... ,r'n, ... )とまるごと変えることになる 無限数列と代表元のシッポを一致させることで間接的に(実)無限を扱っているのだから シッポの箱は関連づいている(そのシッポの箱を探すことが時枝戦略) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/316
317: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/07(土) 00:08:57.13 ID:3+lYjsf1 どうも。スレ主です。 静かになったね ほぼ、Ｔさん一人で騒いでいたのか・・ まず、ID:XwgPLitHさんから >>311 >決定番号ごとに数列を出題するわけではなくて出題された1つの数列から >複数の決定番号を求めるからスレ主が書いた場合分けは関係なくなるよ 意味わからんし、違うと思うよ >>3「問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる」だから、あくまで100列。1つの数列にあらず 「箱の中身は私たちに知らされていないが，・・・これらの列はおのおの決定番号をもつ.」だから、100列から100個の決定番号を求めるだな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/317
318: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/07(土) 00:13:21.89 ID:3+lYjsf1 >>316 >代表元(r1, r2, ... , rn, ... )のたとえば2番目を5にしたいと思ったらr2だけを個別に変えることは >できずに属する類を変化させて(r'1, r'2=5, ... ,r'n, ... )とまるごと変えることになる >無限数列と代表元のシッポを一致させることで間接的に(実)無限を扱っているのだから >シッポの箱は関連づいている(そのシッポの箱を探すことが時枝戦略) 意味不明 悪いが、Ｔさんのスレ（下記）でやってくれ。あそこは、早くもさびれかかっているから、歓待されるぜ 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む28 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483314290/ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/318
319: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/07(土) 00:26:09.34 ID:3+lYjsf1 つぎ、おっちゃん ID:r+v/8wFp >>312 時枝のこころを、おもんばかるだけなら、読心術であって、数学の問題じゃないんだが・・・（つまりは国語読解問題だな（＾＾ そもそも時枝>>4「素朴に，無限族を直接扱えないのか? 扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう. n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって， その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら， 当てられっこないではないか−−他の箱から情報は一切もらえないのだから. 勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.」 と時枝は書いている つまり、 まるまる無限族として独立なら ↓ 他の箱から情報は一切もらえない ↓ 勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた なので、”まるまる無限族として独立”→”(1)に根ざしていた”が成立するから、「(1)無限を直接扱う」のことなんだろうね だから、「(2)有限の極限として間接に扱う」と解釈してはいけないのだ！！ だから、おっちゃんの”見本空間 S_i が有限集合、事象 E_i も有限集合である”は、アウト http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/319
320: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/07(土) 00:34:21.04 ID:3+lYjsf1 >>314 >そうして、有限個のときのことを考えて、極限を取って、確率を求めることにより、 >時枝問題での勝つ確率は1なることが分かる。 国語読解、読めてないね 時枝>>4より「もうちょっと面白いのは，独立性に関する反省だと思う. 確率の中心的対象は，独立な確率変数の無限族 X1，X2，X3，…である. いったい無限を扱うには， (1)無限を直接扱う， (2)有限の極限として間接に扱う， 二つの方針が可能である. 確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ. (独立とは限らない状況におけるコルモゴロフの拡張定理なども有限性を介する.) しかし，素朴に，無限族を直接扱えないのか? 扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう. n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって， その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら， 当てられっこないではないか−−他の箱から情報は一切もらえないのだから. 勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる. ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる， といってもよい.」 と書いてあるけど、 時枝自身がやっていること、>>2-3は、まさに「(1)無限を直接扱う」じゃないですか？ >>2-3の文の中のどこに、「(2)有限の極限として間接に扱う」があるんだ？ そこに大きな矛盾がある 時枝の論旨が一貫していない！ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/320
321: １３２人目の素数さん [sage] 2017/01/07(土) 02:05:40.59 ID:l9ycOFYj > 意味わからんし、違うと思うよ 一つの箱にたとえば0から9の数字が全て10個入っているとみなして計算すればスレ主の言う 「超重い裾の部分」が出てくるかもしれないがその場合には出題者が必ず10個の内9個を取り除く ことが考慮されていない > 意味不明 袋の中には各同値類に対する代表元はそれぞれ一つしか入っていない 時枝記事の内容を理解していなかったら意味不明と書くしかないのでしょうけれども > 「(1)無限を直接扱う」じゃないですか？ もし任意の無限数列の可算無限個全ての数字を出題者が直接指定する方法があるのならば 無限を直接扱うということになる (出題者が指定すべき情報は無限個) > 「(2)有限の極限として間接に扱う」があるんだ？ >>2で同値関係を導入する理由は循環小数のように有限個の数字を繰りかえすパターンでなら 無限数列を直接扱えるが他の場合でも数列のシッポの繰りかえしパターン0, 0, 0, ... を 代表元を用いて変換すれば有限個の情報で間接的に任意の無限数列を表すことができるから (出題者が指定すべき情報は有限数列と(極限値となる)無限数列が属する類) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/321
322: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/07(土) 06:47:58.54 ID:3+lYjsf1 >>321 ID:l9ycOFYjさん、どうも。スレ主です。 まずお願いですが、レスアンカー下記を、次回から使って頂けませんかね http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q109084020 2chなどでよく見かけますが、アンカー？ってどうやってつける... - Yahoo!知恵袋: 2006/8/20 (抜粋) >>123 のように”半角”の「>」を2回のあとに”半角”で数字を入力すると「>>123」の部分が青くリンク表示になる。 記号も数字も半角でないとダメ。 247から250までを指したいなら「>>247-250」のように番号と番号の間に「-」（ハイフン）を入れる。 http://dic.nic ovideo.jp/a/%E3%83%AC%E3%82%B9%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%BC レスアンカーとは (レスアンカーとは) [単語記事] - ニコニコ大百科:初版作成日: 08/11/17 03:26 ◆ 最終更新日: 11/08/14 08:58 (抜粋) レスアンカーとは、主にインターネット掲示板で使われる、他の書き込みにリンク（レス）されるための書式である。 主に、アンカーや安価と略される。 概要 インターネット上の掲示板（特に2ちゃんねる）では主に、過去の書き込みに対して返答する際に、その書き込みが誰にあてられた物かを明確にするために用いられる事が多い。 基本的に多くの掲示板では、半角引用符2つにレス番号で自動リンクが張られる。（例：>>1） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/322
323: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/07(土) 06:48:47.39 ID:3+lYjsf1 http://dic.nic ovideo.jp の部分がＮＧワードなので、手で繋いでください http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/323
324: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/07(土) 07:10:10.24 ID:3+lYjsf1 >>321 ID:l9ycOFYjさん、端的に言って悪いが １．時枝>>2-4を再度よく読んでください ２．それから、>>47 http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf PUZZLES ”Choice Games”Sergiu Hart November 4, 2013 も時間があれば ３．その上で １）”一つの箱にたとえば0から9の数字が全て10個入っているとみなして計算すれば「超重い裾の部分」が出てくるかもしれないがその場合には出題者が必ず10個の内9個を取り除くことが考慮されていない”： 申し訳ないが、理解できない ２）”もし任意の無限数列の可算無限個全ての数字を出題者が直接指定する方法があるのならば無限を直接扱うということになる(出題者が指定すべき情報は無限個)”： それ（「任意の無限数列の可算無限個全ての数字を出題者が直接指定する方法」）は、選択公理だと思います ここまでは>>317関連 ３）”代表元を用いて変換すれば有限個の情報で間接的に任意の無限数列を表すことができる”： これは、>>320関連ですな で、「有限個の情報で間接的に任意の無限数列を表すことができる」の意味がわからん・・・？？ 代表元の集合は、濃度としては無限でしょ 無限数列に（有限の長さの）名前をつけて、ｘとかｓとかｘ１とかｓ１とか、それは時枝でもSergiu Hart氏でもやっている通りだし・・・？？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/324
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