[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む27 [無断転載禁止]©2ch.net (517ﾚｽ)
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392: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/08(日)08:37 ID:Fnfn48Mf(2/33) AAS
これ、検索でヒットしたので貼っておく。なかなか面白い
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「数学通信」バックナンバー
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「数学通信」第７巻第３号 （２００２年度）
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ルベーグ積分と面積0の不思議な図形たち 新井 仁之 （あらいひとし，東京大学大学院数理科学研究科）「数学通信」第７巻第３号 （２００２年度）
(抜粋)
1 はじめに
本稿は，2001年12月23日と24日の二日間にわたって開催された第7回湘南数学セミナーでの講義の概要です．この講義では，「面積とは何
であろうか」という中学生でも理解できる問いかけからはじめ，前半ではいわゆるジョルダン測度の定義を変形したものを紹介しました．こ
の変形はルベーグ測度とジョルダンによる面積の定義の違いを浮き彫りにするために導入したもので，通常のジョルダン測度の定義と同値
になっています．さらにルベーグ測度の考え方をできるだけ丁寧に説き
ました．講義の後半では，ハウスドルフ測度，面積0のフラクタル図
形を動画を見せながら解説し，最後に掛谷間題に関連した動画・静止画
を用いて，ベシコヴィッチ集合の構成ならびに実解析学の未解決問題に
ついて説明しました．
６．掛谷間題
次の間題が現在専門家により研究されています．
［掛谷予想］ 3次元掛谷集合のハウスドルフ次元は3か？
この間題は今のところ未解決です．現在，次のことは知られています．
定理9（ヴォルフ，1995） 3次元掛谷集合のハウスドルフ次元は少な
くとも5／2以上である．
掛谷予想は，実解析のいくつかの未解決問題と関連していることが
最近わかってきました．たとえば3次元空間において，
1）フーリエ変換のボッホナーリース総和法に関する問題が肯定的に
解ければ，掛合予想が肯定的に解ける（T．Tao，1999）．
2）フーリエ変換の制限問題が肯定的に解ければ，掛谷予想が肯定的
に解ける（J・Bourgain，1991）．
3）掛谷極大関数の〝評価に関する予想が肯定的ならば，掛谷予想
が肯定的に解ける（J・Bourgain，1991）・
etc．
これらの問題は，2変数関数の解析と3変数のそれとは違うことを
示しています．
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