[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む27 [無断転載禁止]©2ch.net (517ﾚｽ)
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448(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/11(水)06:44 ID:9a1bzlEI(1) AAS
>>447
わるいけど、議論がかみ合わないので、正直あまりやる気がおきないけど
だから、どうぞ ”現代数学の系譜11 ガロア理論を読む28”へ
ま、少しだけね
抽象論やってもしかたないので、簡単なモデルをかんがえましょ
まず、前提として、”数列の同値類分類は完了した”としよう
(そうだな、Hart氏>>47のgame2 の循環小数モデルにしよう。それなら同値類分類完了は納得だろ？）
その上で、そこでさらにレベルを落として、極限という概念を考えてみよう
１．y=1/x という双曲線。まあ、中学校でもやるだろう。0<x & 0<y いわゆる第一象限で、定義域 xは(0,∞)の開区間。で、値域 yは(0,∞)も開区間
２．y=1/x で面白いのは、xとyの入れ替えで対称になっていること
省4
449(5): 2017/01/11(水)20:31 ID:yu4rQh8h(2/2) AAS
>>448
> 決定番号の分布を集合として考えましょうと。集合としては無限集合でしょと
異なる決定番号(自然数)が可算無限個あるから上限がないということと当てられない(ランダムor全て独立な)
数列が存在する(=決定番号が無限大になる)ことは全く別の事柄ですよ
決定番号全体の無限集合を無視しているわけではなくて
確率を計算する過程は>>3
> 閉じた箱を100列に並べる --- (1)
> 1〜100 のいずれかをランダムに選ぶ --- (2)
任意の無限数列が出題可能という仮定には任意の無限数列の決定番号を(数値の大きさによらず)
決定可能であることが含まれているので(1)の段階で決定番号全体(=自然数全体)の集合から
省2
450(4): 2017/01/12(木)21:30 ID:n2NoxymS(1) AAS
>>448
>>449の補足
出題された数列をS(0, n)としてそれから作られる100列の数列をS(1, n), S(2, n), ... , S(100, n)
と表しそれぞれの決定番号をd1, d2, ... , d100で表す
100列に並べる方法は解答者が自由に選べるので以下のように並べる
S(1, 1)=S(0, 1), S(1, 2)=S(0, 101), S(1, 3)=S(0, 201), ...
S(2, 1)=S(0, 2), S(2, 2)=S(0, 102), S(2, 3)=S(0, 202), ...
同様にして
S(99, 1)=S(0, 99), S(99, 2)=S(0, 199), S(99, 3)=S(0, 299), ...
S(100, 1)=S(0, 100), S(100, 2)=S(0, 200), S(2, 3)=S(0, 300), ...
省5
451: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/13(金)23:01 ID:AK6rhAJF(1/4) AAS
>>449-450
あんたも、例の>>376High level people たちに参加してやれよ、下記例のスレに・・・（＾＾；
完全に煮詰まったみたいだね、あそこは。歓迎されるぜ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む28
2chｽﾚ:math
452: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/13(金)23:04 ID:AK6rhAJF(2/4) AAS
>>449-450
申し訳ないが、High level people すぎて、理解できない
High level people たちだけで、議論してください
453(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/13(金)23:09 ID:AK6rhAJF(3/4) AAS
>>449
>任意の無限数列が出題可能という仮定には任意の無限数列の決定番号を(数値の大きさによらず)
>決定可能であることが含まれているので
High level people すぎて、意味分からん
数学以前に国語についていけない
454(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/13(金)23:17 ID:AK6rhAJF(4/4) AAS
>>450
>出題された数列をS(0, n)としてそれから作られる100列の数列をS(1, n), S(2, n), ... , S(100, n)
・
・
>S(2, 1)=S(0, 2), S(2, 2)=S(0, 102), S(2, 3)=S(0, 202), ...
・
・
>同様にして
>S(99, 1)=S(0, 99), S(99, 2)=S(0, 199), S(99, 3)=S(0, 299), ...
High level people たちは、そういう未定義の記号や用語をほいほい使えるんだ・・（＾＾
省3
455(2): 2017/01/14(土)01:51 ID:B/CAkwIq(1/4) AAS
>>454
定義の部分を引用して
> 未定義の記号や用語をほいほい使えるんだ
> 未定義の記号や用語をほいほい使えるのは、数学ではなく、文学だろ？ それとも哲学か？
と書き込むのは自虐ネタなのかもしれないが面白くも何ともないよ
>>453
決定番号が出題者(および解答者)が扱えないほど大きくなることを問題にすることは
(空)が箱の中身が空であることを表すことにして決定番号がdになるような数列anを
順番に箱に入れた(出題した)場合に a1, a2, ... , ak, (空), (空), ... , (空), ad, a(d+1), ...
となるから時枝戦略の是非ではなくて無限数列の出題可能性を問うことである
省1
456: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/14(土)08:20 ID:co7dEEx8(1/45) AAS
>>455
どうも。スレ主です。
ID:B/CAkwIqさん、High level people すぎて、ついていけない
どうぞ、下記へ
あそこなら、議論してもらえるだろう
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む28
2chｽﾚ:math
457(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/14(土)08:33 ID:co7dEEx8(2/45) AAS
>>455
決定番号が出題者(および解答者)が扱えないほど大きくなる：”扱えないほど大きい”が未定義
だし
”(空)が箱の中身が空であることを表すことにして決定番号がdになるような数列anを
順番に箱に入れた(出題した)場合に a1, a2, ... , ak, (空), (空), ... , (空), ad, a(d+1), ...
となるから時枝戦略の是非ではなくて無限数列の出題可能性を問うことである”
ってさ
分からん（＾＾
勝手に、問題を作ってないか？ 時枝記事>>2-4を離れて、全く別の問題を
>箱に数字を順番に入れて上の(空)をなくせば決定番号は求められることになる
省4
458: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/14(土)10:15 ID:co7dEEx8(3/45) AAS
>>398 戻る
>時枝>>2-4のもう一つの大きな問題点は、定量評価ができていないこと
>・世に、すその重い分布なるものがあって、期待値（平均値）も分散も定義できない。大数の法則も、中心極限定理も不成立。そういう分布がある
定量評価の必要性について、”すその重い分布”ではないが、もっと簡単な具体例で考えてみよう
宝くじ発行方法で、
・１等、２等、３等、・・・、ｎ−１等（ここまで当り）、ｎ等（外れ）とする。
・全部の発行枚数は、10^n枚とする
・１等、２等、３等、・・・、ｎ−１等 各１枚で、ｎ等（外れ）は10^n-(n-1）枚発行となる
・当りは各１枚なので、当りの確率は、(n-1）/10^n
・ｎを大きくして行くと、当りの確率は→0、つまりゼロに近づく
省4
459: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/14(土)10:16 ID:co7dEEx8(4/45) AAS
つづき
さて、この話と合わせて、>>39-43 の説明を読んでほしい
で、循環小数 ロバートソンの表示方法 a + b ( 10^ n /(10^ n - 1) )で、 b ( 10^ n /(10^ n - 1) )が、循環節。 aが、冒頭の循環していない有限小数部分
Hart氏のgame2>>47は、区間[0,1]の有理数を選ぶのだから、微調整でa + b ( 10^ n /(10^ n - 1) ) ＆ a ∈ [0,1]としよう
つまり、簡単に、0<a<1 かつ 0<a + b ( 10^ n /(10^ n - 1) ) <1 と仮定する。（整数部分をゼロ（０）にすればいいだけなので、こう仮定してもgame2に対しては一般性は失わない）
時枝>>2の数列しっぽ同値類、つまり、 b ( 10^ n /(10^ n - 1) )の循環節が一致する有理数たち。異なるのは、aの冒頭の循環していない有限小数部分
ここで、簡単のために、同値類の代表rとして、a=0 を考える。代表は実質bそのもの
この場合、aの有限小数部分の長さをＬとする（仮定より、0<a<1として、a=0.a1 a2 ・・・ an と少数表現できるとして、Ｌ=nとする）
少数第n+1位から循環節に入り、しっぽが一致するので、決定番号は d=n+1 =L+1 となる
省5
460(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/14(土)10:28 ID:co7dEEx8(5/45) AAS
>>449-450
数学はディベートじゃないよ
議論に勝っても、数学の定理は得られない
数学の定理として、証明ができなければ無意味
逆に、議論はあくまで、証明を得るための通過点でしかない
だから、どうぞ、現代数学の系譜11 ガロア理論を読む28 2chｽﾚ:math で
下記の証明をお願いします。
１．まず、Hart氏のgame2>>47 で、これは選択公理を使わないから、全てが可測の世界で収まるはず。そこで
１）２列の比較で、勝つ確率1/2を示すこと（本来（"trategy" なし）は確率1/10だ）
２）100列の比較で、勝つ確率99/100を示すこと
省4
461(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/14(土)10:58 ID:co7dEEx8(6/45) AAS
>>397 戻る
時枝>>4
”n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって，
その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら，
当てられっこないではないか−−他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.”
としている
時枝は、>>2-3と、”その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら，当てられっこない”との矛盾の言い訳をしている
”勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる”のだと
だが、>>328
省18
462: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/14(土)11:06 ID:co7dEEx8(7/45) AAS
>>461 つづき
院生から上数学のプロに近い人たちはこれ(>>461)でおわりだろう
が、数セミの学部生クラスでは、本格的な確率論はまだだろうから、これでおわりとはいかないだろうし
数学的に当てられないものが、どうして当たるように見えるのか？
時枝が、はまった理由や、Hart氏>>47が、PUZZLES ”Choice Games”と称している（数学の論文にあらず）数学的理由付けをさぐってみたいというのが、私スレ主の動機だ
Ｔさんには、面白ねたを紹介してもらったと思っている。その意味では感謝している
Ｔさんは、最後まで覚醒できなかったようだが・・。それは残念だが仕方が無い
463(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/14(土)12:51 ID:co7dEEx8(8/45) AAS
>>402
前層 イメージ これ良いわ！ありがとう！（＾＾
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
数学 前層 イメージ presheaf (ver 1.0) - YouTube HanpenRobot 2013/10/12
464: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/14(土)12:53 ID:co7dEEx8(9/45) AAS
>>460 訂正
（本来（"trategy" なし）は確率1/10だ）
↓
（本来（"strategy" なし）は確率1/10だ）
465(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/14(土)13:15 ID:co7dEEx8(10/45) AAS
>>433 関連
外部ﾘﾝｸ:d.hatena.ne.jp
数学は、人生を総動員して理解するとよいのだ、とわかった - hiroyukikojimaの日記: 2014-05-23
(抜粋)
本書には、図形の位相的な形を分類するためのホモロジー群、空間でないものを空間化させてしまう位相空間理論、n次多項式の零点として定義される図形を代数的に捉えるイデアル理論、加減乗が定義された代数系である可換環を位相空間上の関数に仕立ててしまうスキーム理論などの入門編を解説しているのだけど、
これらはいずれも、数学科に所属していた頃に理解できずに落ちこぼれた素材なのだ。
今でも忘れられないは、ホモロジー群を教わった位相幾何の講義のテストのときだ。たしか2時間ぐらいのテスト時間にもかかわらず、ま〜ったく何もわからず、ただただ答案用紙にトーラス(ドーナツ形)の絵を描いて時間が過ぎるのを待った。
早々に答案を(白紙のまま)提出して退出する勇気はなかった。あれほどの退屈な時間と、あれほどの屈辱の時間は、他に経験がない。
それから、ゼミで代数多様体についての輪読をしたとき、それがマンフォード『代数幾何1』のほとんど最初のほうであるにもかかわらず、何も理解できないまま、夜な夜な英語の文面を呆然と見つめていたものだった。
可換環論が当然の前提知識となっており、それを理解しようとすると、その前提にはもっと初歩の代数系や集合論(ツォルンの補題など)が利用されており、それを紐解こうとすると、「無限後退」に陥るような気持ちになって、目眩がした。
省2
466: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/14(土)13:18 ID:co7dEEx8(11/45) AAS
つづき
でも、のちのちに、このときのぼくの認識は大間違いだったことがわかったのだ。当時のぼくがいけなかったのは、「数学を、目の前にある本や、講義のノートの、そのままの字面から理解しようとする」ことから一歩も外に出ようとしなかったことだった
ぼくは、「数学を理解する」という行為を限定的に閉じ込めてしまい、もっと広い外界にアクセスしなかったことが災いしたと気付くことになった
数学を(いや、どんな学問でもそれを)理解する、という行為は、人生を総動員して行うべきものであり、そうしさえすれば、(それへの愛と欲求がある限り)理解は不可能なことでもそんなに難しいことでもない、ということだとわかったのだ
実際、経済学者となってからのぼくには、数学を理解するための作業が、数学科の学生だった頃と大きく違うものとなった。例えば、数学的なアイテムを理解しようとするとき、専門書に書いてあることをそのまま受け入れようとする努力を捨てるようになった
それが抽象的すぎて、とても自分の感覚ではついていけないと感じたときは、そこに書いてあることを自分によくわかる別の言葉や記号に置き換えていく作業をすることにした
具体例を挙げるなら、それは本書『数学は世界をこう見る 数と空間への現代的なアプローチ』のホモロジー群の説明に表れている。ホモロジー群というのは、チェインと呼ばれる幾何的対象の集合を高次元から低次元に並べて、その順番に沿って、境界作用素と呼ばれる写像を作る
そして、そのk番目の写像の像を(k+1)番目の写像の逆像で割って、剰余類を作る。その群がホモロジー群と呼ばれるものである。この定義は、何回読んでも、何をしているのかさっぱりわからなかった
だから、いったん、そういう抽象的な定義を鵜呑みにするのは諦めて、低次元で、それがどんな作業をしているのかを自分の言葉で理解してみようと試みた。最初に0次元で、次に1次元で。そしたら、だんだんと、それが意味していることがわかってきた
「要するに、これって、単なる中学1年生の文字式の同類項計算に毛が生えたものじゃん」という悟りに達したのである。こういう「自分の言葉での理解」を得たあとに、もう一度、一般的な定義に立ち返ってみると、チェインの集合間の境界作用素から剰余類を構成する手続きは、実にすっきりしていて、みごとな整合性を持っていることが実感できた
省1
467: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/14(土)13:19 ID:co7dEEx8(12/45) AAS
つづき
ホモロジー群をこういう風に理解した背景には、ぼくが塾講師だった頃に、中学１年生に文字式を教えることで苦労した経験を持ったことも生きていた。文字式の同類項の計算というのは、一度わかってしまえば、あまりに当たり前なものである。
でも、初めて学ぶ中学生にとっては、非常に抽象的で敷居の高いものである。ここで、「抽象的な計算規則を何の抵抗もなく受け入れられる子供」と「実感のないものを安易に受け入れられない子供」に振り分けられる。これは能力の優劣ではなく、性格の違いであると言える。
前者だって、本当は「無批判に何でも信じてしまう」危ない資質だとも言えなくもないからだ。そして、後者のタイプの中学生たちに「文字式とは何か」を教えるのには、非常に苦労した。「文字式とは、ある計算の仕組みの全体を抽象化したもの」ということをなんとか伝えなければいけないからである。
この教育で苦労したぼくは、めぐりめぐって、それが自分のホモロジー群の理解に生きた、というのは奇遇なことだ。
本書『数学は世界をこう見る 数と空間への現代的なアプローチ』の最終目的となったスキーム(の初歩的部分)を、ぼくが理解できたのは、もっと数奇な運命の巡り合わせである。数学科卒業後、数論に未練のあったぼくは、代数幾何の必要性を痛感していた。
とりわけ、フェルマーの最終定理が、楕円曲線上のゼータ関数の解析接続の問題である谷山予想に帰着され、それがワイルズによって解決されたのを目の当たりにしたぼくは、代数幾何をバックボーンにした数論幾何を勉強しなかったことを激しく後悔した。
そして、なんとか少しでもスキーム理論に近づけないか、と願うようになった。しかし、何度チャレンジしてもその願望は、撥ねのけられてしまった。そのときもまた、「数学を、目の前にある本や、講義のノートの、そのままの字面から理解しよう」としていたからだ。
つづく
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