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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む27 [無断転載禁止]©2ch.net (517ﾚｽ)
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472
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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2017/01/14(土)13:35
ID:co7dEEx8(17/45)
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472: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/14(土) 13:35:23.37 ID:co7dEEx8 つづき 「ゲルファント・シロフの定理」というのは、位相空間から環を作って、その環から元の位相空間を再現する方法論だ。おおざっぱには、 位相空間→複素数値連続関数の集合→極大イデアルの集合→元の空間 という構造になっている。もうちょっと詳しく説明すると次のようになる。 今、位相空間Xがあるとしよう。位相空間というのは、なんらか遠近感が導入された空間のことだと理解すればいい。そして、その空間は有限的な広さで(コンパクト)、その遠近感が「どの2点も遠近感的に離れている」(ハウスドルフ)とする。 次に、その空間X上の複素数値連続関数の集合をC(X)と書こう。(最初のエントリーでは「連続」が抜けてましたので、修正しました)。C(X)には加減乗が定義できるので環の一つと見なすことができる。 そして、この関数たちのなす環C(X)の極大イデアルの集合をYとする(極大イデアルについては、整数からイデアルへ - hiroyukikojimaの日記を参照のこと）。ちなみに、極大イデアルの集合Yには、(ザリスキー位相という)うまい遠近感を導入することで位相空間に仕立てることができる。 このとき、元の位相空間Xとこの極大イデアルの成す位相空間Yが、遠近感が同じ空間(同相)となる、というのが、「ゲルファント・シロフの定理」の定理なのである。図形的なイメージが欲しい人は、本書のぼくによる「図解」で(ただし、有限位相空間のみ)、きちんとした証明が知りたい人は、黒川先生のレクチャー「環と空間」で(こっちは一般論)お読みくださいませ。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/472
つづき ゲルファントシロフの定理というのは位相空間から環を作ってその環から元の位相空間を再現する方法論だおおざっぱには 位相空間複素数値連続関数の集合極大イデアルの集合元の空間 という構造になっているもうちょっと詳しく説明すると次のようになる 今位相空間があるとしよう位相空間というのはなんらか遠近感が導入された空間のことだと理解すればいいそしてその空間は有限的な広さでコンパクトその遠近感がどの点も遠近感的に離れているハウスドルフとする 次にその空間上の複素数値連続関数の集合をと書こう最初のエントリーでは連続が抜けてましたので修正しましたには加減乗が定義できるので環の一つと見なすことができる そしてこの関数たちのなす環の極大イデアルの集合をとする極大イデアルについては整数からイデアルへ の日記を参照のことちなみに極大イデアルの集合にはザリスキー位相といううまい遠近感を導入することで位相空間に仕立てることができる このとき元の位相空間とこの極大イデアルの成す位相空間が遠近感が同じ空間同相となるというのがゲルファントシロフの定理の定理なのである図形的なイメージが欲しい人は本書のぼくによる図解でただし有限位相空間のみきちんとした証明が知りたい人は黒川先生のレクチャー環と空間でこっちは一般論お読みくださいませ つづく
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