[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む28 [無断転載禁止]©2ch.net (106ﾚｽ)
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6(3): 2017/01/02(月)19:55 ID:VW7bBLUp(2/12) AAS
2chｽﾚ:math
>ここで測度論的と言うのは、決定番号dの確率測度を実数列の初期分布から求めることを指しているけど。
「決定番号dの確率測度」はgame1（のプレーヤー２が勝つ確率の計算）とは無関係というのが、私の答えです。
「決定番号dの確率測度」は、別のゲーム
GAME-A: プレーヤー２が開けない列を選んでから、プレーヤー１が実数列を選ぶ
GAME-B: プレーヤー２が箱を開けようとするたびプレーヤー１がその箱の実数を選ぶ
などには関係するでしょうけど。
ここで重要なのが、確率的選択の順序です。
いっぺんに言おうとすると長くなりそうなので要点だけ言うと、
確率的選択の順序によって、確率を求める積分の順序がかわります。
省2
10(4): 2017/01/02(月)20:26 ID:VW7bBLUp(3/12) AAS
>>8
無関係というのは、確率計算に使わないし、使えないということです。
そのようなものを関係あるというの変でしょう？
プレーヤー１が数列を選んだ時点で、箱の中の実数は定まっているわけですから、
それらは確率変数ではなく、ただの定数です。決定番号もただの定数。
したがって、プレーヤー２の勝ち負けを決定する時点で、決定番号dを確率変数とみて確率分布を考える意味がありません。
15(18): 2017/01/02(月)21:44 ID:VW7bBLUp(5/12) AAS
>>13
プレーヤ１が実数列を選ぶ確率空間を、任意の確率分布をμとして、(R^N, μ)
プレーヤ２が開けない列を選ぶ確率空間を、離散一様分布をνとして、(Ｋ={1,2,...100}, ν)
として、ゲーム全体の確率空間Ωを、それらの直積とする。
プレーヤー２が勝つ事象Ｅはs∈R^N, k∈Ｋで決まるのでΩの部分集合である。
プレーヤー１が実数列sを選んだ段階で、
プレーヤー２の確率空間は Ω_s = {s}×Ｋ ≡ Ｋ.
そこでのプレーヤー２が勝つ事象Ｅ_sは E_s = {(s,k)| k∈Ｋ, (s,k)∈Ｅ} ≡ {k| k∈Ｋ, (s,k)∈Ｅ} となる。
したがって、プレーヤー２が勝つ確率は次の式になる：
p1 = ∫[R^N]{∫[E_s]dν(k)}dμ(s) = ∫[R^N]{ν(E_s)}dμ(s).
省9
17(3): 2017/01/02(月)22:11 ID:0caOih5s(9/13) AAS
>>15-16
これを読むと色んな疑問が沸いてきましたが、どんな質問をすべきか整理が付きません。
答えを先に聞くようで恐縮ですが、
> 事象Ｅが可測ならフビニの定理より同じになるが、非可測なら同じとはいえない。
この同じとはいえない、という事実と下記のコメントはどう結びつくのでしょうか？
> 俺は測度論的確率論で正当化できて、パラドクスも説明できると思っているよ
25(6): 2017/01/02(月)23:35 ID:VW7bBLUp(11/12) AAS
>>23
問題となるのは、>>15 のν(E_s)がsの関数として非可測かもしれないことから、
∫[R^N]{ν(E_s)}dμ(s) が計算できないかもしれないことだろう。
しかし、時枝氏やHart氏の証明から、すべての実数列sについてν(E_s)≧99/100 であるので、
通常の積分での測度を内測度に換えた内積分(inner integral)を考えると、その値は99/100以上。
これは何を意味しているかというと、大数の強法則で言うと、
無限回ゲームを試行したとき、プレーヤー２が勝つ頻度は収束しないかもしれないが、
下極限は99/100以上であることがほとんど確実ということ。
参考 外部ﾘﾝｸ[3187]:arxiv.org
"On the Law of Large Numbers for Nonmeasurable Identically Distributed Random Variables"
27(3): 2017/01/02(月)23:48 ID:0caOih5s(13/13) AAS
>>24
> 「すべての出題に確率99/100以上で当てれる」というの自体は、有限集合の確率論でだせてるわけです。
>>25
> しかし、時枝氏やHart氏の証明から、すべての実数列sについてν(E_s)≧99/100 であるので、
これは直感的に明らか。
なのにまともに測度を計算しようとするとできない、という印象です。
問題を単純化します。
2つのr1,r2∈R^Nが独立同分布に選ばれるとする。決定番号dはr∈R^Nのみの関数。
r1の決定番号d(r1)がd(r2)以下である確率P(d(r1)≦d(r2))はいくつか？
という問題です。
省5
28(3): 2017/01/03(火)00:31 ID:56XTT4pn(1/3) AAS
>>27で唐突に決定番号の測度を出してしまいました。
話が発散するように思われるかもしれませんが、その理由を説明します。
>>10で貴方は決定番号の測度はこの問題に無関係だとおっしゃいました。
プレイヤー2にとって各実数列は定数であり、
したがって各決定番号も定数だから、ということでした。
しかしプレイヤー2にとっての"勝つ確率"は
用意された実数列の関数になっている。
であるならばプレイヤー2が確率を計算するには
用意される実数列の分布を仮定する必要があるし、
それを仮定しても問題を大きくは変えないでしょう。
省13
34(3): 2017/01/04(水)22:27 ID:12aafGy3(3/3) AAS
>>28
> その議論をご存知ですか？（あれは貴方ですか？）
2chｽﾚ:math からの議論だとしたら、それは私ですね。
そういうあなたはその議論に付き合ってくれた方でしょうか？
この解釈を思いつく前のことなので、ところどころ変なこと言ってるかも。
特に 2chｽﾚ:math は変ですね、忘れてください。
> その時の議論と今回の議論をどう折り合いをつければいいのか、
> 正直言って私の頭は混乱の度合いを深めておりますｗ
その時、示したかったことは「当てれる」理由です。
2chｽﾚ:math
省9
51(3): 2017/01/10(火)23:12 ID:q3tPENQ6(1/2) AAS
まず訂正です。内積分(inner integral)の定義が間違えてました。
内測度は使いません。関数f(x)の内積分はsup{∫g(x)dx|g(x)≦f(x), g(x):可積分}です。
書き方が悪くてもしかしたら誤解をされているかと思い書きますが、
私はパラドクスを説明するのには普通の測度論的確率論で十分できて
新たな確率論は必要ないと思っています。
改めて私の考えを述べると
(1)プレーヤー１の任意の出題に対してプレーヤー２は確率99/100以上で当てれること。
これは時枝氏やHart氏の証明があります。それらの証明は有限集合の確率論しか使っていません。
したがって(証明に沿って考えると)直観でも混合戦略はうまくいくと認識される。
しかしながら、(1)に反論する人たちがいます。その人たちは箱の独立性や決定番号の分布などを持ち出します。
省8
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