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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む30 [無断転載禁止]©2ch.net (653ﾚｽ)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む30 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/
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114: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/23(日) 11:43:19.39 ID:cvHfhso/ あと シローの定理 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 wikipedia http://hooktail.sub.jp/algebra/Sylow/ 「物理のかぎしっぽ」 http://www.econ.hit-u.ac.jp/~yamada/algebra_pdf/2_5_Sylow.pdf p-群とSylowの定理(pdfファイル:4ページ) 山田裕理 （やまだ ひろみち）一橋大学大学院経済学研究科 http://www.econ.hit-u.ac.jp/~yamada/ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/114
115: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/23(日) 11:45:23.87 ID:cvHfhso/ p-群とSylowの定理(pdfファイル:4ページ) 山田裕理 （やまだ ひろみち）一橋大学大学院経済学研究科 は 過去の講義資料（『代数学』） とあるから、2009〜2015のどこかかな？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/115
116: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/23(日) 12:23:45.70 ID:cvHfhso/ >>16-17 戻る >(Z/p^nZ)*は位数がp^(n-1)(p-1)の群なので、ｍはその約数です。ｍ＝s(p-1)とおいてるので、ｓはｐ＾iの形をしてますね。 >mod pで考えるとｐ乗するのは何もしないことと同じなので >ｇ＝ｈ＾ｓ≡ｈ(mod p) >です。ｈが原始根であることから0≦k＜ｌ<p-1に対して >g^k≡h^kとg^l≡h^lは合同でないことになります。 >これはよく考えてみると、(Z/pZ)* の原始根のhで、h^sが、また(Z/pZ)* の原始根であって、例えばそれをh’として、 h^s＝h'となっているという主張だろ >ということは、sがそういう特殊な性質、つまり>>16で引用したように”ｍ＝s(p-1)とおいてるので、ｓはｐ＾iの形をしてます”を使わざるを得ないように思う >ということは、石井本でいまから証明しようとしている 「剰余類群(Z/p^nZ)*の構造が (Z/p^(n-1) Z)/(Z/(p-1) Z)である」、あるいはその類似で>>16のように「位数が{p^(n-1)｝(p-1)の巡回群である」などと、ほぼ証明しようとしていることと、同値の命題ではないのか？ >「それ、簡単に示せるのか？」という気がしている今日この頃（＾＾； ＜結論＞ 私スレ主には、簡単な証明は、思いつかなかった yahoo 知恵袋 解答者 doahoyasanさん>>16 が示したように、 「(Z/p^nZ)*は位数がp^(n-1)(p-1)の群なので、ｍはその約数です」を先に証明してから、「ｍ＝s(p-1)とおいてるので、ｓはｐ＾iの形をしてます」と続ける 「(Z/p^nZ)*は位数がp^(n-1)(p-1)の群」の証明は、前スレ http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/526 の http://www.epii.jp/articles/note/math/primitive_root ”既約剰余類群と原始根 epii Last modified: 2016/05/16” ような結構短いのがあるねー 私スレ主は、非力なので、簡単な証明は、思いつかなかった。石井俊全先生がんばってな〜 まあ、６刷かなー（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/116
117: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/23(日) 12:26:19.91 ID:cvHfhso/ >>116 訂正 (>>29に同じ) 「剰余類群(Z/p^nZ)*の構造が (Z/p^(n-1) Z)/(Z/(p-1) Z)である」 ↓ 「剰余類群(Z/p^nZ)*の構造が (Z/p^(n-1) Z)ｘ(Z/(p-1) Z)である」（つまり (Z/p^(n-1) Z)と(Z/(p-1) Z)との直積） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/117
118: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/23(日) 13:43:15.46 ID:cvHfhso/ 戻る 前すれ http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/544 544 返信：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/04/19(水) 17:11:05.51 ID:EI4BHEQ3 [3/3] >>537 >>大学用テキストなら、１０〜１５ページくらいかな？ >やはり、スレ主は群論の初歩が分かっていない。 >群論のテキストは10〜15ページでは終わらないんだが。 Matsuda先生 津山高専 「このノートではガロア理論のみを, 特に最初に挙げた定理のみを扱う. その ために, 必要ない代数学の知識は一切省いた. 基本的に代数学の知識ゼロを出発 点として, このノートだけで完全に証明を理解できるように努めた.」（下記ＰＤＦより） とあって、群論は、Ｐ3〜16で、14ページ http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/ Matsuda’s Web Page 津山高専 ・ガロア理論入門ノート (概略 http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/galois/gal.pdf /詳細 http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/galois/gals.pdf ） （ガロア理論とは５次以上の方程式に解の公式は存在しないというものです。予備知識なしで読めるように書いたつもりです｡概略編と詳細編があります。） 何人かの読者の方から詳細編の誤植等を見つけてもらいました．ありがとうございました．大変遅くなりましたが訂正しました．（2016.1.12） http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/galois/gals.pdf ・ガロア理論入門ノート 詳細 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/118
119: １３２人目の素数さん [] 2017/04/23(日) 13:53:26.79 ID:F1ymkmMr 数学的な証明を具えなくても、例えばラングランズがヴェイユに宛てた手紙とかでも業績と呼べるでしょ ラマヌジャンが夢で女神様と出会ったのも業績だ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/119
120: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/23(日) 14:08:20.07 ID:cvHfhso/ >>118 つづき >>大学用テキストなら、１０〜１５ページくらいかな？ >やはり、スレ主は群論の初歩が分かっていない。 >群論のテキストは10〜15ページでは終わらないんだが。 手元のガロア 足立本（下記）で、2.1群、2.2 商群、2.3 同型定理、3.3 アーベル群の基本定理 で、P23〜44 約20ページ 付録Ａ 群論より で約10ページ 計 約30ページ しかし、石井ベレ本で扱ってないテーマが足立には入っているから、石井ベレ本程度の内容なら20ページ弱くらいか？ http://d.hatena.ne.jp/q_n_adachi/20060421/1304725757 足立恒雄のページ 2006-04-21 主要自著の解説 ８．ガロア理論講義 (日評数学選書) http://www.amazon.co.jp/dp/4535601410/?tag=hatena_st1-22&ascsubtag=d-ugk53 作者: 足立恒雄 出版社/メーカー: 日本評論社 発売日: 2003/04 メディア: 単行本 この商品を含むブログ (6件) を見る http://d.hatena.ne.jp/asin/4535601410 ガロア理論は早稲田の数学科では 3年生で講義する。その講義を受けるためには2年生の代数学を習得 していなくてはならない。 だから、ガロア理論は2年間連続の講義 と考えるのが普通である。 本書も代数学の基礎（そこにはアーベル 群の基本定理、代数閉包の存在、複素数体の代数的閉性などが含ま れる）とガロア理論からなる。 特徴はといえば、 第１章で作図可能 性の問題を取り上げて体論の導入としたこと、 歴史に関するメモを 各章に入れたこと（たとえばシュタイニッツの業績を紹介した）、 代数の教科書では杜撰になりがちな選択公理の使い方を正確にした こと、 無限次代数拡大のガロア理論を取り入れたことなどだろうか。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/120
121: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/23(日) 14:11:44.52 ID:cvHfhso/ >>118-120 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/121
122: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/23(日) 14:16:07.78 ID:cvHfhso/ >>121誤爆（＾＾ >>118-120 「ガロア理論講義」みたいな形でどこまで、群論を詳しく書くか・・ 大学テキストだとせいぜい20〜30ページが多いと思うよ 書き方にもよるし、後の発展を考えて、結構詳しく書く場合もあると思うが・・ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/122
123: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/23(日) 14:21:58.86 ID:cvHfhso/ >>119 ああ、そうだね リーマンが書いた予想の論文『与えられた数より小さい素数の個数について』とか（下記） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8E%E3%81%88%E3%82%89%E3%82%8C%E3%81%9F%E6%95%B0%E3%82%88%E3%82%8A%E5%B0%8F%E3%81%95%E3%81%84%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%80%8B%E6%95%B0%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6 解析学や幾何学の分野における業績が多かったリーマンが数論の分野で唯一発表した論文であり、わずか8ページしかなかったが、数々の画期的な内容を含み、後世に甚大な影響を及ぼした。 特に解析的整数論においては、本論文は同分野の基本文献とされている。内容的には、この論文はあるべき大論文の要約版・研究速報と見なすことができたが、リーマン自身は7年後の1866年に39歳で没したため、本論文の詳細版が出版されることはついになかった。 もし詳細版が出版されていれば、関連分野の研究は70年は短縮されただろうという指摘がある[2][3][4]。 本論文には6個の予想が含まれていたが、リーマン没後、うち5つまでは後の数学者達によって証明が与えられた。最後に残されたのがリーマン予想であり、これは数論における最も重要な未解決問題の一つとされている。 この論文の影響はあまりに大きかったため、例えば複素数の表記方法として普通は z = x + iy（特に z = 1/2 + iy）と書くところを、リーマンゼータ関数の非自明な零点を論じる場合に限っては、本論文にちなんで s = 1/2 + it と書く慣習がある[注 1]。 また、「リーマンのゼータ関数」という名称も、元々オイラーが導入した関数であるにもかかわらず、本論文でリーマンが記号 ζ(s) を用いて記述したことから以後定着した。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/123
124: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/23(日) 14:54:53.50 ID:cvHfhso/ >>93 C++さん、ご参考 https://doda.jp/engineer/guide/yosoku/09_1.html 転職・求人DODAエンジニア IT／トップ > 転職情報・成功ガイド > 三年予測 > レッドコーダー 秋葉拓哉 氏 １ 掲載日：2014.4.21 (抜粋) 秋葉拓哉は、最初は自分がレッドコーダーになれるとは思っていなかったそうだ。 レッドコーダーとは、約60万人がオンラインで参加するプログラミングコンテスト「TopCoder」での成績を示す数字「レーティング」が2200以上の挑戦者のことだ。プログラマの中でも一目置かれる存在である。 2007年に秋葉が大学に入りTopCoderの存在を知った頃、レッドコーダーは日本で4人しかいなかった。レッドコーダーは憧れで、手が届かない存在だと思っていた。 今の秋葉は、レッドコーダーのさらに上位、レーティング3000以上の「ターゲット」と呼ばれるグループの一員だ。2014年4月時点で、ターゲットは世界で19人しかいない。レーティングは最高3306まで到達したことがある。ランキングでは世界4位の地位にいた時期もある。 秋葉が特に誇りにしていることがある。コンテストの上位入賞者であるだけでなく、書籍『プログラミングコンテストチャレンジブック』を執筆することで、日本の競技プログラミングの水準を高めるのに貢献したことだ。 「今では、競技プログラミングに興味を持つ一部の高校生までもが、この本のテクニックをマスターしています。日本のプログラミングコンテスト挑戦者のレベル向上にはかなり貢献したと思います」 秋葉が競技プログラミングに打ち込んでいた時期、毎日自分に課していたことがある。競技プログラミングのための練習だ。出題された問題を読み込み、適切なアルゴリズムを考え、プログラミング言語で実装する。1日に10問以上の問題を解く日も少なくなかった。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/124
125: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/23(日) 14:56:25.09 ID:cvHfhso/ つづき https://doda.jp/engineer/guide/yosoku/09_2.html 転職・求人DODAエンジニア IT／トップ > 転職情報・成功ガイド > 三年予測 > レッドコーダー 秋葉拓哉 氏 ２ 掲載日：2014.4.21 (抜粋) 思い出に残っているのは、2006年、高校3年の夏に参加した「国際情報オリンピック」だ。日本からは10年ぶりに挑戦者を送り込んだ世界大会だった。場所はメキシコ、ユカタン半島の古都メリダだ。 「その頃は、まだアルゴリズムの知識があまりなく、気合でプログラムを書いていた」と秋葉は振り返る。それでも勝てていた。2006年1月の「日本情報オリンピック」では優勝している。だが、2006年3月に開かれた日本からの参加者を決める選考合宿では、様子が違った。 「自分はプログラミングを愛してきた。ところが、数学が得意でプログラミングはちょっとできる人の方が合宿ではいい成績だった。自分よりプログラミングができないはずなのに、彼が書くプログラムは僕のプログラムより実行速度が速い。その人は『国際数学オリンピック』出身だった。なるほど、アルゴリズムで差が付くのだと思い知った。いい経験だった」 2006年の「国際情報オリンピック」では日本チームの成績は国別6位で、獲得したメダルは「金」が2枚、「銅」が1枚だった。ところが秋葉個人の成績は振るわず「ショックだった」と話す。1日目、ほとんどの参加者が解けた簡単な問題が解けなかった。2日目は上位だったのに、1日目の簡単な問題を取りこぼしたミスが響いた。 この時の悔しさが、その後のコンテストへの情熱に影響したかどうかといえば「間違いなく、それはある」と秋葉は言う。特に､アルゴリズムに関する実力を高める必要を強く感じた。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/125
126: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/23(日) 14:57:27.26 ID:cvHfhso/ >>125 つづき 翌年、秋葉は東京大学に進学した。そこで、ACM-ICPC（ACM国際大学対抗プログラミングコンテスト ）のコンテストに出場することを目的とする授業を取った。この授業を取っていた仲間と、秋葉はプログラミングコンテストへ向けた挑戦を始めた。「僕の頃は小さなゼミのような授業だった。コンテストに熱中しているのはごく一部だった」。 思い出に残っているのは、2012年にポーランドのワルシャワで開催されたACM-ICPCの世界大会に出場して、日本からの出場者として10年ぶりに「銅メダル」を獲得したことだ。修士1年のときだった。 実は、この世界大会に出場するまでが長かった。ACM-ICPCは大学対抗のコンテストなので、東京大学からは毎年1チームしか出場できない。「東京大学で1位のチームになることが、実はものすごく大変でした」と秋葉は言う。東京大学は激戦区で、学内4位のチームが、他のどの大学のチームより良い成績を出したこともある。 それでも2位以下のチームは世界大会に出場できないのだ。 この世界大会で、秋葉は渡部正樹、吉里幸太の3人とチームを組んだ。渡部は「情報オリンピック」の時に知り合った「数学の天才」だ。秋葉は渡部のことを「天才なので、練習量が少なくてもパフォーマンスが高い」と評する。一方、書籍『プログラミングコンテストチャレンジブック』の共著者である岩田陽一、北川宜稔は、ライバルのチームにいた。 念願かなってACM-ICPC世界大会に出場でき、10年ぶりの「銅メダル」を獲得できたわけだが、この時の体験は、秋葉にとっては悔しい思い出となって残っている。コードが受理されなかった問題が2問あったからだ。 「あれがなければ、金メダルを狙えました」。2問ともデバッグはきちんとしたはずだったが、どのようなデータにより不具合が出たのかは、今も分からない。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/126
127: １３２人目の素数さん [sage] 2017/04/23(日) 14:58:33.97 ID:hBTSK7EK >>118 >>120 私のレスの検証をしているようだが、ガロア理論をしても、 その後に可換環論を使う代数幾何やら代数的整数論やら色々あって、 そこで群論の考え方が再び必要になる。それだけ群の考え方は重要になる。 代数でなくても、群の考え方は重要になる。だから、どこまで深入りするかは 議論の余地があるが、結局、最初に群論をやるときに或る程度する方が 数学を論理的に厳密に学習することになり、それを身に付ける上でも早い。 まあ、いきなり有限群の表現論やモンスター群のようなところまで深くはしなくていいけど。 ガロア理論の付録の群論のところが短く書かれるからには、そういうことが前提にある。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/127
128: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/23(日) 15:01:41.19 ID:cvHfhso/ >>126 つづき https://doda.jp/engineer/guide/yosoku/09_3.html 転職・求人DODAエンジニア IT レッドコーダー 秋葉拓哉 氏 ３ 2014.4.21 (抜粋) このようなコンテストの上位に入賞するには、どのような資質、訓練が必要なのだろうか。 良いアルゴリズムを自分で組み立てるには、幅広いアルゴリズムの知識、それにある種の数学的センスが必要だ。このアルゴリズムの能力の重要さは、秋葉が高校時代に挑戦した「情報オリンピック」で思い知らされた。 秋葉は、「アルゴリズムだけでもダメ、プログラムを書けるだけでもダメ」だと説明する。「アルゴリズムを、どれだけきれいに短くプログラミングできるかが本質だ」。 しかも、TopCoderの問題を解くのに要求されるプログラミングテクニックは高度で、「それまで日本では誰も知らなかった」テクニックも数多く含まれていた。 そこで秋葉は、プログラミングコンテストの挑戦者達が集まる掲示板を大量に読んだ。ロシア語や中国語の情報も機械翻訳を使って読んだ。ロシア、中国には挑戦者の大きなコミュニティがあったからだ。 TopCoderの国別ランキングでは、1位、2位をロシアと中国が占める状況が続いている。 こうした苦労を経て得た知識が、書籍『プログラミングコンテストチャレンジブック』には盛り込まれているわけだ。 重要なこととして、秋葉には優秀なライバルや先輩がいた。例えば麻布学園パソコン同好会の先輩には、ベンチャー2社を創業し、現在はDeNAでHTML5開発に取り組む紀平拓男がいる。同世代のライバルには、数学の天才、渡部や、一緒に書籍を執筆した岩田らがいた。 なぜ、秋葉がプログラミングコンテストに挑戦しつづけたのかといえば、最大の理由は「楽しかった」からだ。「解いて楽しい問題がいっぱいある。アルゴリズムを考えるのも、パズルのようで楽しい」。楽しいからこそ、訓練を続けることができたのだ。 プログラミングの分野で突出した仕事をしている多くの人が「プログラミングの楽しさ」を口にすることから分かるように、ITの進化の速さの大きな理由のひとつが、課題への挑戦に「面白さ、楽しさ」を感じるプログラマの存在なのだ。アルゴリズムや実装の能力を磨き、関心を深めていく場として、競技プログラミングの存在感は高まっている。 (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/128
129: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/23(日) 15:03:15.15 ID:cvHfhso/ >>127 おっちゃん、どうも、スレ主です。 レスありがとう（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/129
130: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/23(日) 15:15:04.89 ID:cvHfhso/ 渡部 正樹 氏ねー、DRは取ったんだね http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/seminar/2016/sem16-067.html ホーム研究科の活動談話会・セミナー博士論文発表会 東京大学 2016年01月29日(金) 12:45-14:00 数理科学研究科棟(駒場) 126号室 渡部 正樹 氏 (東京大学大学院数理科学研究科) Schubert polynomials,Kra?kiewicz-Pragacz modules and highest weight categories（Schubert 多項式，Kra?kiewicz-Pragacz 加群と最高ウェイト圏） (JAPANESE) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%BD%E9%9A%9B%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%82%AA%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%83%94%E3%83%83%E3%82%AF 国際数学オリンピック 日本人金メダリスト 渡部正樹（筑波大学附属駒場高等学校） - 2005年（23位）, 2006年（21位） アジア太平洋数学オリンピック 渡部正樹（筑波大学附属駒場高等学校） - 2005年 渡部正樹（筑波大学附属駒場高等学校） - 2007年 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/130
131: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/23(日) 15:22:28.66 ID:cvHfhso/ 2017-03-31で終わっているのか？ https://kaken.nii.ac.jp/ja/grant/KAKENHI-PROJECT-15J05373/ Ｓｃｈｕｂｅｒｔ加群の構造の研究 特別研究員 渡部 正樹 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(PD) 研究期間 (年度) 2015-04-24 ? 2017-03-31 研究課題ステータス 交付(2016年度) 配分額 *注記 2,170千円 (直接経費 : 1,900千円、間接経費 : 270千円) 2016年度 : 1,170千円 (直接経費 : 900千円、間接経費 : 270千円) 2015年度 : 1,000千円 (直接経費 : 1,000千円) キーワード Schubert多項式 / Kraskiewicz-Pragacz加群 / 最高ウエイト圏 研究実績の概要 韓国のKAISTで開催された国際学会International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2016) や、海外の大学でのセミナーなどで、このテーマについて今までわかっていたことを発表し、海外の研究者と意見交換をして研究対象に対する見識を深めることができた。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/131
132: １３２人目の素数さん [sage] 2017/04/23(日) 15:48:44.71 ID:hBTSK7EK 普段通りに「100万円」と書けばいいのに、余計な計算を要して 分かりにくくしているんだが、「1,000千円」っていう金額の書き方は何なんだ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/132
133: １３２人目の素数さん [sage] 2017/04/23(日) 17:43:33.94 ID:CGs7YHjO >>132 ここはアメリカ様の植民地だからね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/133
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