[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む30 [無断転載禁止]©2ch.net (653ﾚｽ)
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155(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/04/24(月)16:06 ID:1RdECzzL(16/25) AAS
>>152 関連
練習問題 1: Z/nZ の単元の満たすべき必要十分条件
n を 2 以上の自然数とし、a を整数とする。 このとき a?b=b?a≡1mod n となる b が存在するための必要かつ十分な条件は a と n が互いに素であること、
すなわち gcd(a,n)=1 であることを示せ。
外部ﾘﾝｸ[pdf]:nakano.math.gakushuin.ac.jp
11/29 「８ 剰余類の演算」 「代数入門」(2011)の資料 学習院大 中野伸 研究室
(抜粋)
8.3 既約剰余類群
法m に関する逆元や零因子の概念も，剰余類のもつ性質ととらえることで簡明になる．
剰余類R ∈ Z/mZ のある元r が法m に関する逆元s ∈ Z をもつとする．
このとき，剰余類S = s の任意の元は法m に関するr の逆元であり，さらにR の任意の元はS の任意の元を法m に関する逆元として持つ．
すなわちa ∈ R, b ∈ S ならばab ≡ 1 (mod m)，あるいはRS = 1 と書くこともできる（ああ，ややこしい）．
このようなとき，S はR の逆元であると定義しR?1 で表す． この定義のもとで次が成り立つ．
? 法m に関する剰余類の逆元は，もし存在するならば一意的である．
実際，剰余類S, T ∈ Z/mZ がともに剰余類R ∈ Z/mZ の逆元ならば，それぞれの元r ∈ R, s ∈ S, t ∈ T をとるとき，
rs ≡ rt ≡ 1 (mod m) だから，t ≡ t(rs) ≡ (rt)s ≡ s (mod m)，
ゆえにT = t = s = S が成り立ち，一意性がいえた．
一方，剰余類R ∈ Z/mZ のある元が法m に関する零因子ならば，R に属するすべての元は法m に関する零因子となる．
そこで，このような剰余類を零因子とよぶことにする．
つまり，剰余類R ∈ Z/mZ が零因子であるための必要十分条件は，RS = 0 をみたす剰余類S ?= 0 が存在することである．
次の命題は定理5.6 からの直接の帰結である．
命題8.3 m を2 以上の自然数とする． 法m に関する剰余類が逆元もつためには，零因子でないことが必要十分である．
また，このような剰余類はm と互いに素な整数a によってa と表される．
定義8.4 m を1 でない自然数とする． 法m に関する逆元をもつ剰余類（同じことだが，零因子でない剰余類）を，法m に関する既約剰余類という．
また，それら全体のなす集合を，法m に関する既約剰余類群といい(Z/mZ)× で表す．
(引用終り)
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