現代数学の系譜11 ガロア理論を読む30 [無断転載禁止]©2ch.net

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269: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/27(木) 13:52:08.90 ID:rio6lBme

>>266 関連

http://eetimes.jp/ee/articles/1704/07/news015.html
2017年04月07日 14時00分 更新
機械学習に特化した「TPU」：
GoogleのAI用チップ、Intelの性能を上回ると報告
Googleが2016年に発表した、機械学習の演算に特化したアクセラレータチップ「TPU（Tensor Processing Unit）」が、IntelのCPUやNVIDIAのGPUの性能を上回ったという。Googleが報告した。
[Rick Merritt，EE Times]【翻訳：青山麻由子、編集：EE Times Japan】

Googleによると、同社の人工知能（AI）向けアクセラレータチップ「Tensor Processing Unit（以下、TPU）」が、機械学習のテストでIntelのサーバ向けプロセッサ「Xeon」とNVIDIA製のGPUを1桁以上も上回る結果を出したという。
17ページにわたる論文（ https://drive.google.com/file/d/0Bx4hafXDDq2EMzRNcy1vSUxtcEk/view ）は、TPUとベンチマークについて深く掘り下げる内容になっている。具体的には、TPUが、上記のIntelおよびNVIDIAのチップに比べて15倍の処理速度を実現し、1ワット当たりの処理性能は30倍となっていることが示されている。

GoogleがTPUを発表したのは2016年5月のことだ。TPUは、自社のデータセンター向けサーバ上の幅広いアプリケーションにおける推論プロセスを加速するために開発されたという。

Googleは現在、2017年6月に開催されるコンピュータアーキテクチャ関連のカンファレンスで発表予定の論文の中で、TPUの詳細を初めて明らかにしている。

論文では、TPUの他、Googleが取り組むさまざまなニューラルネットワークの開発について述べられている。また、機械学習についてエンジニアが学ぶべきことはたくさんあると示唆している。

著名なハードウェアエンジニアで、TPUの開発に関わった70人以上のエンジニアから成るチームを率いたNorman P. Jouppi氏は、「われわれは優秀なエンジニアを必要としている。そのため、彼らに、私たちの仕事の質がいかに高いかを知ってもらいたかった。さらに、クラウド分野の顧客に、当社の能力を知っていただきたいと思っている」と述べている。

米カリフォルニア大学バークレー校の元教授で、ベテランのプロセッサアーキテクトでもあるDavid Patterson氏も、TPU開発プロジェクトに貢献した1人だ。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/269

277: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/27(木) 15:51:17.99 ID:rio6lBme

>>246 補足
>ホワイトノイズは無限次元空間上の超関数論
>によって数学的に定式化されるが，そのための自然な枠組みの一つはホワイトノイズ解析ま
>たは飛田解析[107，121]であり，尾畑[138]によってホワイトノイズ関数上の作用素論として
>も確立した

関連
http://www.shinshu-u.ac.jp/faculty/science/quest/research/post-2.php
無限次元現象の解明を目指して 信州大学 理学部 乙部 厳己
(抜粋)
現在の研究テーマ：無限次元空間上の発散定理

現在までの歴史上、数学のみならず諸科学まで含めて最も大きな影響を及ぼした定理は何かといえば、おそらく間違いなく微積分の基本定理だといえると思います。微積分の基本定理とは（1 次元のときに）微分と積分がお互いに逆の演算であることを主張するものです。
これは領域の内部全体での関数の値の和が、その原始関数の境界での値の差に等しいことを主張し、関数の形を適切に与えることで領域の内部における情報を外周部だけで理解できることを示しています。

この事実は多次元でも一般に成り立っていることを示したのがガウスによる発散定理です。このような関係は解析学の最も基礎をなすものであり、たとえば関数概念そのものを拡張するにはいくつかの方法が知られています（総称して超関数と呼びます）が、いずれにせよ根底にはこの事実があるといってよいと思います。
もちろんそれだけではなく、ベクトル解析など多くの応用の基礎となると同時に現代幾何学の基礎の一つといってもよいと思います。例えるならば、うまく関数を設置してから家の周りを一周すれば、知りたかった家の中の状況がわかるということを述べているわけです。

ところが、無限次元空間においては状況が全く異なります。

しかし1970 年代の末頃から、確率論のある種の研究の中でこれら両者はついに融合点を見いだし、測度論に基づいた無限次元空間上の完全な微積分の理論が完成します。この理論は通常、この方向への最初の突破口を開いた数学者の名前をとってマリアヴァン解析と呼ばれています。

ところが、・・・球に相当するような滑らかな領域ではすでに発散定理は定式化できていましたが、長方形のような形 に相当する角のある領域についても発散定理をマリアヴァン解析の枠組みで完全に定式化することを目指しています。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/277

278: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/27(木) 16:24:02.59 ID:rio6lBme

>>277 関連
https://www.jstage.jst.go.jp/browse/sugaku/42/2/_contents/-char/ja/ 数学 . 42
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/42/2/42_2_97/_pdf 渡辺信三 確率解析とその応用 1990
(抜粋)
1.Wiener空間と確率解析
確率解析の中心はなんといつても伊藤清先生による確率微分方程式の理論であろう. N. Wienerは1923年にBrown運動を数学的にモデル化してWiener空間を確立したが,伊藤の理論はこのWienerの理論を出発点として展開され,それは確率過程の見本関数に関する微積分学ということができる.
微分学ではまず関数を局所的に直線で近似し接線を考えるが,ランダムな関数では平均値のまわりのゆらぎは無限小ではGauss確率変数であり,したがってその接線的役割を果たすのがWiener過程である.

2.Malliavin解析
上でも見たように無限次元空間の積分論は確率過程論と結びついて発展してきた.ところで無限次元空間での微分学は古典的には, Euler, Lagrange, Hamilton-Jacobi等の変分学であった.
変分学で取りあつかう汎関数は通常滑らかな関数の上で定義されており,Wiener汎関数に関連していえば,その骨格となるべきH上の関数が変分学の対象となる.そしてこのH上の関数の変分学とWiener汎関数積分とはパラメーター・に関する極限状態においてつながってくる.これは大きな偏差(1arge deviation)の理論における基本原理である.

約10年程前P. Malliavin は微分(=変分)の意味をWiener測度に関連させて修正した意味で考えれば,この種のWiener汎関数は十分微分可能であり,多くの場合C..級であるという事実を見出した.それは確率微分方程式の研究に新しい方法を提供するもので,それによってWiener汎関数積分の種々の問題における応用の可能性は飛躍的に増大した.

Malliavinはこの微分の概念をWiener空間上のOrnstein-Uhlenbeck過程に関する確率解析を用いて定義したが,その後重川,楠岡一Stroock,杉田,等の研究で丁度有限次元の場合のSobolevの意味の弱微分(weak derivative),あるいはSchwartzの超関数微分に対応する概念と同等であることがわかつてきた.
またMalliavin解析の基礎はWiener空間上の部分積分にあるが,一方Schwartzによる超関数の概念は部分積分による関数概念の拡張であった。このようにMalliavinの解析をWiener空間上の超関数論とみるのは自然であり,以下ではこの立場より理論の構成を試みる.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/278

284: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/27(木) 20:52:02.39 ID:rio6lBme

>>137 共役変換

http://www.tuhep.phys.tohoku.ac.jp/~watamura/
綿村 哲 (わたむら さとし) 東北大学 大学院 理学研究科 量子基礎物理学講座
http://www.tuhep.phys.tohoku.ac.jp/~watamura/kougi/
対称性と物理 他 （場の量子論 解析力学） 講義資料
http://www.tuhep.phys.tohoku.ac.jp/~watamura/kougi/GP2012_2.pdf
＜群の構造＞
(抜粋)
2.2 剰余類と共役類
2.2.2 共役元と共役類 conjugacy class

共役変換
共役変換は群同型写像を与える．

共役類 群 G のすべての元による a の共役変換によって得られる集合，つまり共役な元
の集合を a を含む共役類と呼ぶ．
共役類の性質
1. 単位元は，必ず単独で類である．
2. 可換群は，それぞれの元が単独で共役類になる．
3. 群の元を，それぞれの類に分解することができる．これを類別と呼ぶ．
4. 類別は共役という同値関係6
∃g : a = gbg?1 ならば a ? b (2.23)
を入れ分類したことに相当する．このようにして，群の構造を大雑把に理解するこ
とができる．
5. 共役類に類別してできた類の集合を G/ ? と書く．

2.4.4 対称群の共役類
対称群の共役の性質と共役類
1. 巡回の長さは共役変換で変わらない．

2. 対称群の共役類は巡回で分解したときの長さの組み合わせで指定される．つまり Sn
の共役類は n の分割 (partition) で決まる．
ただし，n の分割とは，正整数 λi の組 [λ1, ・ ・ ・ , λk] で 琶 λi = n となるもの．

3. 分割の中の数字は上記のように conjugation で変換できるので，同じ分割の置換は同
じ共役類に属することが分かる．またこのことから，置換群 Sn の共役類の数 p(n)
は，n の分割数に等しい．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/284

287: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/27(木) 21:34:59.95 ID:rio6lBme

昔、服部 昭先生の「現代代数学 (近代数学講座)」を読んだが、”むず”かった。歯が立たなかったな～（＾＾；
ただ、「代数拡大は単項拡大になる」みたいな定理があって、それだけ覚えている
”圏とホモロジー”か・・、あったかも・・、あったような気がする・・
読んでて楽しかったが、難しすぎて、置き場が無くなったので整理してしまった。他のガロア本を読んだので（＾＾；
（いまなら、もう少し読めるかも・・）

https://www.amazon.co.jp/dp/4254116519
現代代数学 (近代数学講座) 単行本 ? 2004/4 服部 昭 (著)

内容（「BOOK」データベースより）
本書は代数学の基礎的部分についての概説である。読者としては数学専攻の3、4年次またはこれに準ずるものを想定している。従ってここでは代数学の最も合理的な体系づけとか、著者の代数学に対する感じ方の表明とかが目標ではなく、基礎的素材の取り扱いと代数学的考察の具体例を示すことが主眼になる。

内容（「MARC」データベースより）
「近代数学講座」シリーズの第1巻では、代数学の基礎的部分について概説し、基礎的素材の取り扱いと代数学的考察の具体例を示す。群、環、加群、圏とホモロジー、可換体、ガロア理論などで構成。1968年刊の再刊。

単行本: 226ページ
出版社: 朝倉書店; 復刊版 (2004/04)

トップカスタマーレビュー

5つ星のうち 3.0内容は星４つだが初心者向きでないので総合評価は星３つ
投稿者 カスタマー 投稿日 2004/5/13
形式: 単行本
この本が書かれてから40年近くが経過しているが、多くの事項が網羅された代数学の本としての内容は古びていない：例をあげると、位相群や代数極限を解説した後にガロワ・コホモロジーの初歩まで言及されている。しかし、全体の記述は極めて"terse"であり（初学者の）通読には向かない。
また、現在の観点からすると可換代数や非可換代数、体の超越拡大等の更なる解説が望まれるし、代数体の初等的な議論が欲しいところである。
著者による改訂はもう物故されている由で望むべくも無いが、この本の精神を生かしつつもう少し初学者向きに編集し、かつ上記の話題を補う試みが為される事を切望する。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/287

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