現代数学の系譜11 ガロア理論を読む30 [無断転載禁止]©2ch.net

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41: 2017/04/20(木)22:06 ID:Mw0bHJHY(1) AAS
>>38
馬鹿レス乙

42: 2017/04/20(木)22:07 ID:Z9knBctv(1/2) AAS
スレ主がLow level peopleだって？
何を自惚れてるのか?お前は救い様の無い馬鹿だ
只の馬鹿じゃない、救い様の無い馬鹿

43: 2017/04/20(木)22:09 ID:Z9knBctv(2/2) AAS
自分に都合の悪いレスは「ちゃちゃ入れ」と脳内変換する馬鹿

44: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/04/20(木)22:23 ID:9sYSsKwf(16/23) AAS
>>40 関連

外部ﾘﾝｸ[html]:mathsoc.jp
「数学通信」第１８巻第３号目次 2013
外部ﾘﾝｸ[pdf]:mathsoc.jp
ものづくりにおける数学松谷茂樹「数学通信」2013
(抜粋)
これは，インクジェットプリンターでの流体計算に関わるものである．空気，壁，流体の三相界面が，特異点論の最も単純なコーン型特異点になることから，特異点のあるオイラー方程式の導出することが数理的な目標であった．
既によく知られていた二相流体のフェーズ場理論を三相に拡張するのであるが，特異点の取り扱いが困難であった．それを，図２に示すような経路に従って，広範囲な数学を（浅くはあるが）広く利用することで導出した[3]．

製造業の研究開発の現場での数学的検討を行うためには，単一の専門分野の知識のみで対応することは困難な場合が多い．キヤノンでは数学（正確には広い意味の理論）と現場の課題を結びつけるインタープリターとして担当者自身が，両者を理解し課題解決を行っている．
従って，機密も含めた企業での実課題は，企業側で対応することが現実的ではあると考えている．
省1

45: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/04/20(木)22:24 ID:9sYSsKwf(17/23) AAS
鹿とお
鹿十匹か

46: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/04/20(木)22:25 ID:9sYSsKwf(18/23) AAS
連投だ
埋め立てだと
規制が入るよりましだな

47(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/04/20(木)22:33 ID:9sYSsKwf(19/23) AAS
>>18-19
>モンスターが　とか言ってるけど、たかがアーベル群の話なんて、それと比べたら 1+1=2 レベルの話だわｗ

なるほど
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
有限生成アーベル群
抽象代数学において、アーベル群 (G,+) が有限生成 (finitely generated) であるとは、G の有限個の元 x1,・・・,xs が存在して、G のすべての元 x が n1,・・・,ns を整数として
x = n1x1 + n2x2 + ・・・ + nsxs
の形に書けるということである。この場合、集合 {x1,・・・,xs} を G の生成系、生成集合 (generating set) あるいは x1, ・・・, xs は G を生成する (generate) という。
明らかに、すべての有限アーベル群は有限生成である。有限生成アーベル群はわりと単純な構造をもっており、完全に分類することができて、以下で説明される。
目次 [非表示]
省12

48(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/04/20(木)22:41 ID:9sYSsKwf(20/23) AAS
>>47 つづき

分類[編集]
単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理の特別な場合である有限生成アーベル群の基本定理 (fundamental theorem of finitely generated abelian groups) は（単項イデアル整域の場合と同様に）2通りに述べることができる。

同値性[編集]
これらのステートメントは中国剰余定理によって同値である。ここでそれが述べているのは、Z_m ～ Z_j ＋ Z_k であることと、j と k が互いに素で m = jk であることは同値である。
コメント[編集]
有限生成アーベル群は有限の階数として、上の n を持つ。一方でこの逆は正しくなく、有限の階数を持つが有限生成でないアーベル群はたくさんある。
この定理によって有限生成なアーベル群、特に位数が有限なアーベル群は完全に分類できる。そのため、これは群論において大変有用な定理である。これに対して、有限生成でないアーベル群に関しては、今でも研究が進められている。特に、階数が無限のアーベル群は非常に複雑になる。
もう少し一般化して、単項イデアル整域上の有限生成加群に対しても全く同様の定理が証明できる。
系[編集]
省8

49(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/04/20(木)22:54 ID:9sYSsKwf(21/23) AAS
>>48 関連

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
数学の殊に代数学において有限アーベル群（ゆうげんアーベルぐん、英: finite abelian group）は、可換かつ有限なる群を言う。ゆえにこれは有限型のアーベル群の特別の場合である。
にも拘らず、有限アーベル群の概念には独自の長い歴史と特有の様々な応用（合同算術のような純粋数学的なものも、誤り訂正符号のような工学的なものも含めて）を有する。

クロネッカーの定理（フランス語版）は有限アーベル群の構造を陽に記述する。すなわち、有限アーベル群は巡回群の直積である。
群の圏において、有限アーベル群の全体は自己双対部分圏を成す。
目次 [非表示]
1 歴史
2 性質
2.1 基本性質
省15

50(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/04/20(木)22:56 ID:9sYSsKwf(22/23) AAS
>>49 つづき

歴史[編集]
1824年にノルウェーの数学者ニールス・アーベルは、自費でわずか6頁の五次の一般方程式の解法に関する研究を著した[1]。これはある置換の集合の可換性が重要なることを明らかにするものであった。こんにち可換群にアーベルの名を関するのはこの発見に依拠するのである。
エヴァリスト・ガロワも同じ問題に取り組み、1831年に初めて「形式群」(groupe formel) の語を用いた[2]。この論文は後にジョゼフ・リウヴィルによって出版されている。19世紀後半、有限群の研究が本質的に表れて初めてガロワ理論が構築されていくことになる。
形式群の概念の形成には多くの年月が必要とされたにもかかわらず、クロネッカーはその公理化における一人の役者である。1870年にはこんにち用いられるのと同値な有限アーベル群の定義が与えられている[3]。一般の定義はハインリッヒ・ヴェーバー（英語版）による[4]。
1853年にレオポルト・クロネッカーは有理数体の有限拡大で可換なガロワ群を持つものは円分拡大の部分体であることを述べた[5]。
こんにちクロネッカー?ヴェーバーの定理と呼ばれるこの定理の、クロネッカーによる証明は誤っており、リヒャルト・デデキント、ハインリッヒ・ヴェーバー[6]を経て最終的にダフィット・ヒルベルト[7]が厳密な証明を与えた。
この流れにおいてクロネッカーは、1870年の論文において（こんにちではクロネッカーの名を関する）有限アーベル群の構造定理を証明した一人に数えられる。

つづく

51(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/04/20(木)22:57 ID:9sYSsKwf(23/23) AAS
>>50 つづき

性質[編集]
基本性質[編集]
任意の巡回群はアーベル群である。
有限アーベル群の任意の部分群はまた有限アーベル群である。
有限アーベル群の任意の剰余群はまた有限アーベル群である。
有限アーベル群からなる任意の有限族の直積群はまた有限アーベル群である。
クロネッカーの定理[編集]
詳細は「有限アーベル群の構造定理（フランス語版）」を参照
以下、G は有限アーベル群とする。
省11

52(1): ま 2017/04/21(金)06:35 ID:gQ59SVkv(1) AAS
むちゃめちゃやん
停止。数学は危険だと判断されてます。停止。

53(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/04/21(金)07:16 ID:fI8jm0e8(1/20) AAS
>>51 つづき
応用
調和解析
詳細は「有限アーベル群上の調和解析（フランス語版）」を参照
有限アーベル群は特筆すべき群指標を持ち、その指標群は自身に同型である。ゆえに、そのような群上の調和解析は単純で確立されていて、フーリエ変換や畳み込みを定義することができる。よく知られた結果として、パーシヴァルの等式、プランシュレルの定理やポワソン和公式などが挙げられる。

合同算術
代数的整数論で広く用いられる構造として、整数の合同類環 Z/pZ と特にその単数群 (Z/pZ)× がある。このアプローチは合同算術の基礎になっている。p が素数ならば、この単数群は位数 p ? 1 の巡回群であり、素数以外の場合でも有限アーベルであることは変わりない。
この構造は、フェルマーの小定理（や、その一般化であるオイラーの定理）のようなディオファントス方程式を解くのに利用できる。
有限アーベル群上の調和解析もまた数論に多くの応用を持つ。それらはガウスやルジャンドルらのような数学者が示した結果の現代的定式化に相当する。
ガウス和やガウス周期（フランス語版）もそれらを計算可能にする有限アーベル群の指標を用いて表すことができる。そのような方法は平方剰余の相互法則の証明の基本である。
省6

54(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/04/21(金)07:45 ID:fI8jm0e8(2/20) AAS
>>52
どうも。スレ主です。
ご苦労さまです。たまに茶々入れしてくれたまえ。実は、>>53 を投下するとき、「埋め立て」だと言われ書けなかったんだ

「埋め立て」と言われればそうなんだが・・（＾＾
何をやっているかと言えば、

>>18-19 から引用
”18 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/04/20(木) 01:11:56.89 ID:Wvaf9XTt [1/2]
位数がnの巡回群をC_nであらわす。
位数がp^2のアーベル群は、C_p×C_p かC_p^2　かのどちらか。
位数がp^3のアーベル群は、C_p×C_p×C_p　またはC_p×C_p^2または、C_p^3　のどれか。
省14

55(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/04/21(金)14:37 ID:fI8jm0e8(3/20) AAS
>>54
で、検証つづき

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
アーベル群
(抜粋)

数学、とくに抽象代数学におけるアーベル群（アーベルぐん、英: abelian group[注釈 1]）または可換群（かかんぐん、英: commutative group）は、群演算が可換な群、すなわちどの二つの元の積も掛ける順番に依らず定まる群を言う。名称は、ノルウェーの数学者ニールス・アーベルに因む[2][注釈 2]。
アーベル群は環や体、環上の加群やベクトル空間といった抽象代数学の概念において、その基礎となる加法に関する群（加法群）としてしばしば生じる。
任意の抽象アーベル群についても、しばしば加法的な記法（例えば群演算は "+" を用いて表され、逆元は負符号を元の前に付けることで表す）が用いられ、その場合に用語の濫用で「加法群」と呼ばれることがある。
また任意のアーベル群は整数全体の成す環 Z 上の加群とみることができ、その意味でやはり用語の濫用だがアーベル群のことを「加群」と呼ぶこともある。
一般に可換群は非可換群（英語版）に比べて著しく容易であり、とくに有限アーベル群の構造は具さに知られているが、それでも無限アーベル群論はいまなお活発な研究領域である。
省12

56: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/04/21(金)14:39 ID:fI8jm0e8(4/20) AAS
>>55　関連
>とくに有限アーベル群の構造は具さに知られているが

外部ﾘﾝｸ:dictionary.goo.ne.jp
つぶさ‐に【▽具に／▽備に／×悉に】の意味 goo辞書
出典：デジタル大辞泉
［副］
１細かくて、詳しいさま。詳細に。「事の次第を―報告する」
２すべてをもれなく。ことごとく。「―点検する」

外部ﾘﾝｸ:dictionary.goo.ne.jp
辞書国語辞書品詞漢字項目「具」の意味 goo辞書
省8

57(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/04/21(金)14:41 ID:fI8jm0e8(5/20) AAS
>>55 つづき
有限アーベル群[編集]
詳細は「有限アーベル群」を参照
整数全体のなす加法群の法 n に関する剰余類の成す巡回群 Z/nZ は有限アーベル群のもっとも単純な例として挙げることができるが、
逆に任意の有限アーベル群は適当な素数冪に対するこの形の有限巡回群の直和に同型であり、そのときそれら直和因子の位数は全体として一意に決定され、与えられた有限アーベル群の不変系 (complete system of invariants) と呼ばれる。
有限アーベル群の自己同型群はその不変系によって直接的に記述することができる。有限アーベル群の理論はフロベニウスとシュティッケルベルガー（英語版）の1879年の論文に始まり、のちに整理され主イデアル整域上の有限生成加群にまで一般化されて、線型代数学の重要な章を成すものとなった（単因子論）。
素数位数の任意の群は巡回群に同型であり、ゆえにアーベル群である。また、位数が素数の平方であるような任意の群はアーベル群となる[5]。
実は任意の素数 p に対して位数 p2 の群は、同型を除いて Z/p2Z と Z/pZ × Z/pZ のちょうど二種類しかない。

有限アーベル群の基本定理
任意の有限アーベル群 G は素冪位数の巡回群の直和に表される。
省7

58: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/04/21(金)14:43 ID:fI8jm0e8(6/20) AAS
>>57つづき

無限アーベル群[編集]
もっとも単純な無限アーベル群は無限巡回群 Z である。任意の有限生成アーベル群 A は Z の適当な r 個のコピーと有限個の素冪位数巡回群の直和に分解可能なアーベル群との直和に同型である。
この場合、分解は一意ではないけれども、上記の定数 r は一意に定まり（A の階数と呼ばれる）、分解に現れる素数冪は全体として有限巡回直和因子すべての位数を一意的に決定する。
これと対照に、一般の無限生成アーベル群の分類は完全とは程遠いものしか知られていないことを理解しなければならない。可除群（任意の自然数 n と a ∈ A に対し方程式 nx = a が常に解 x ∈ A を持つような群 A）は完全な特徴づけが知られている無限アーベル群の重要なクラスの一つである。
任意の可除群は、有理数の加法群 Q といくつか適当な素数 p に対するプリューファー群 Qp/Zp を直和因子に持つ直和に同型で、それぞれの種類の直和因子の数は濃度の意味で一意に決定される[注釈 3]。
さらに言えば、可除群 A が何らかのアーベル群 G の部分群となるとき、A は G における直和補因子を持つ（すなわち、G の適当な部分群 C で G = A ? C なるものがとれる）。
したがって、可除群はアーベル群の圏における入射対象であり、逆に任意の入射アーベル群は可除である（ベーアの判定法（英語版））。非零可除部分群を持たないアーベル群は被約 (reduced) であるという。
対極的な性質を持つ無限アーベル群の重要な二つのクラスに、ねじれ群（英語版）とねじれのない群（英語版）がある。例えば、加法群の商 Q/Z はねじれアーベル群の、加法群 Q はねじれのないアーベル群のそれぞれ例になっている。
ねじれ群でもねじれのない群でもないアーベル群は混合群 (mixed group) という。アーベル群 A とその（最大）ねじれ部分群 T(A) に対して、剰余群 A/T(A) はねじれがない。
省5

59: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/04/21(金)14:48 ID:fI8jm0e8(7/20) AAS
>>57 補足
>有限アーベル群の自己同型群はその不変系によって直接的に記述することができる。有限アーベル群の理論はフロベニウスとシュティッケルベルガー（英語版）の1879年の論文に始まり、のちに整理され主イデアル整域上の有限生成加群にまで一般化されて、線型代数学の重要な章を成すものとなった（単因子論）。
>素数位数の任意の群は巡回群に同型であり、ゆえにアーベル群である。また、位数が素数の平方であるような任意の群はアーベル群となる[5]。
>実は任意の素数 p に対して位数 p2 の群は、同型を除いて Z/p2Z と Z/pZ × Z/pZ のちょうど二種類しかない。

ほら、”実は任意の素数 p に対して位数 p2 の群は、同型を除いて Z/p2Z と Z/pZ × Z/pZ のちょうど二種類しかない”が
>>18の”位数がp^2のアーベル群は、C_p×C_p かC_p^2　かのどちらか” に相当しているんだよ（＾＾；

60(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/04/21(金)16:57 ID:fI8jm0e8(8/20) AAS
まいったね～
「ＥＲＲＯＲ！
ERROR: We hate Landfill!
埋め立てですかあ」
ときやがった（＾＾；

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