[過去ﾛｸﾞ] 面白い問題おしえて〜な 二十三問目 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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302(3): 2017/06/28(水)21:55 ID:xEqrn1lZ(1) AAS
x,yに関する不定方程式
x^2-dy^2=1　（dは平方数でない自然数）
は「ぺル方程式」とよばれ、無限個の自然数解を持つことが知られている。

問1
j+1と2jが共に平方数になるような自然数jが無限に存在することを示せ。

また、最小の自然数解を(X,Y)とすると、全ての自然数解(x_n,y_n)は
x_1=X, y_1=Y
x_(n+1) = (x_n)(x_1) + d(y_n)(y_1)
y_(n+1) = (x_n)(y_1)+(y_n)(x_1)
で表せることが知られている。
省2

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310: 302 2017/06/29(木)14:51 ID:pDFeYatX(1/3) AAS
解答

問1
jが奇数ならば2jは素因数に2を一つしか持たず、平方数になることはない。
よって、2jが平方数になるときjは偶数で、j=2k^2とおける。
j+1=2k^2+1が平方数になるとき2k^2+1=l^2とおける。
l^2-2k^2=1
自然数解(l,k)は無限個存在し、
（明らかに自然数解kは無限個存在するから、）
題意を満たす自然数j=2k^2も無限個存在する。

問2
省15

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311: 302 2017/06/29(木)15:11 ID:pDFeYatX(2/3) AAS
ちなみに漸化式を解いて一般項を求めると

l_n=A_n=(1/2)((3+2√2)^n+(3-2√2)^n)
k_n=B_n=((√2)/4)((3+2√2)^n-(3-2√2)^n)

j_n=(1/8)((3+2√2)^(2n)+(3-2√2)^(2n)-2)

a_n=(1/4)((3+2√2)^n+(3-2√2)^n-2)
b_n=((√2)/8)((3+2√2)^n-(3-2√2)^n)

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313: 302 2017/06/29(木)15:50 ID:pDFeYatX(3/3) AAS
2を掛け忘れていた

j_n
=(1/4)((3+2√2)^(2n)+(3-2√2)^(2n)-2)
=(1/4)((17+12√2)^n+(17-12√2)^n-2)

j_1=8　j+1=9=3^2, 2j=16=4^2
j_2=288　j+1=289=17^2, 2j=576=24^2
j_3=9800　j+1=9801=99^2, 2j=19600=140^2

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