[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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592(2): 2017/08/16(水)07:17 ID:QnvYtidY(1/4) AAS
AA省
593: 2017/08/16(水)08:03 ID:QnvYtidY(2/4) AAS
>>592
左辺の係数間違ごうとる
（HM)^2 ≧（4/√3)S
⇔ (9√3)(abc)^2 ≧ 4(ab+bc+ca)^2 √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
⇔ (9√3) sin A sin B sin C ≧ 2 (sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A)^2
594(2): 2017/08/16(水)13:54 ID:QnvYtidY(3/4) AAS
>>592
（HM)^2 ≧（4/√3)S ⇔ (x+y+z)/3 ≧ (xyz)^(1/3)
ラビで一発だった。
595: 2017/08/16(水)14:18 ID:QnvYtidY(4/4) AAS
>>594
いや別の不等式の話でした。
ごめん、あれこれ弄っていて混乱していました。
596(1): 2017/08/18(金)01:02 ID:90S02hzN(1) AAS
>>588-595
HM^2 と (4/√3)S の大小
1辺だけが短い楔状△の場合は不成立のようでござる。
手間取らせて、すまぬ。
597(3): 2017/08/18(金)11:06 ID:WHydeLcz(1/4) AAS
>>596
さんくす。(a,b,c)=(1/3,1,1)で、HMの方が小さくなりますね。
[疑問] HM ≧ （2/√3)r は成り立つか？
b=c=1、0<a<2でWolfram先生にグラフを書かせたら、０以上っぽいので、基本対称式で表すと、
(HM^2 - 12r)/3 の分子
= 3su^2+s^3t^2-4st^3+8t^2u
= (s^2-3t)st^2 - (t^2-3su)u
= 正 - 正
で、この方法では失敗でござった。
598(2): 2017/08/18(金)12:33 ID:WHydeLcz(2/4) AAS
>>597
ちがった。最後は
(s^3t^2-4st^3+9t^2u) - (t^2-3su)u
599(1): 2017/08/18(金)17:50 ID:WHydeLcz(3/4) AAS
>>449、>>583、>>586
> a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧ 3/2
>>586
> 1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝≧ 3/(1+abc),
>
> バルカンMO-2006、文献［9］ 佐藤(訳)、問題3.93
似たような不等式を見つけた。
[IMO 1995 第2問] 外部ﾘﾝｸ[html]:www.cs.cornell.edu
1/(a^3*(b+c)) + 1/(b^3*(c+a)) + 1/(c^3*(a+b)) ≧ 3/2.
600(3): 2017/08/18(金)18:07 ID:WHydeLcz(4/4) AAS
>>449、>>455、>>583
a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、3 > 1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c) > 1
上限を厳しく評価するには、どういう考え方でやればいいんでせうか？
601(2): 2017/08/18(金)22:17 ID:/k+bKW+I(1) AAS
>>600
f(x)=1/(1+e^x)
x+y+z=0 なる実数 x, y, z に対して f(x)+f(y)+f(z) の上限を調べればよい
f は x<=0 で狭義凸だから LCF から y=x, z=-2x のときの上限を調べれよばよい
sup 2f(x)+f(-2x) = 2
よって上限は 2
602(2): 2017/08/19(土)03:06 ID:HQ7H9Ohy(1/3) AAS
>>599
x=1/a、ｙ=1/b、z=1/c とおくと、xyz=1
S = xx/(y+z）+ yy/(z+x）+ zz/(x+y)
≧ (x+y+z)^2 /{(y+z)+(z+x)+(x+y)｝ (←コーシー)
=（x+y+z)/2
≧3/2,
文献[9] 佐藤(訳）例1.4.9
>>600
a,b,… のうち最小のものをmとおきます。（m≦1)
1より大きい2要素 p,q があったときは
省9
603: 2017/08/19(土)03:14 ID:Q+nr/ATk(1/9) AAS
LCF、RCF、LCRCF、SIP、EV、AC(UMV)、GI、GC、SMV…。さっぱり
604: 2017/08/19(土)04:32 ID:Q+nr/ATk(2/9) AAS
>>4 に追加。
Vasile Cirtoaje
外部ﾘﾝｸ[php]:ac.upg-ploiesti.ro
柳田五夫、初等的な不等式?ほか
外部ﾘﾝｸ[html]:izumi-math.jp
605: 2017/08/19(土)04:33 ID:Q+nr/ATk(3/9) AAS
>>601-602
ありがとうございまする。
606(1): 2017/08/19(土)05:22 ID:Q+nr/ATk(4/9) AAS
Arithmetic Compensation Theorem (AC-Theorem)
Equal Variable Theorem (EV-Theorem)
Half Convex Function Theorem (HCF-Theorem)
Left Concave Function Theorem (LCF-Theorem)
Right Convex Function theorem (RCF-Theorem)
Left Convex-Right Concave Function Theorem (LCRCF-Theorem)
Single Inflection Point Theorem (SIP-Theorem)
Strong Mixing Variables Theorem (SMV-Theorem)
GC-Theorem （文献[8] 安藤 P.197）は何の略？
607: 2017/08/19(土)10:17 ID:F2dH2OvX(1) AAS
>>606
AC が arithmetic なんだから GC はgeometric でしょ...
608(2): 2017/08/19(土)13:16 ID:HQ7H9Ohy(2/3) AAS
>>597 >>598
s^3 -4st +9u = a(a-b)(a-c）+ b(b-c)(b-a）+ c(c-a)(c-b),
tt-3su = bc(a-b)(a-c）+ ca(b-c)(b-a）+ ab(c-a)(c-b),
より
(s^3 -4st +9u)tt - (tt-3su)u = P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b),
ここに
P=a(tt-bbcc)，Q=b(tt-ccaa)，R=c(tt-aabb),
P,Q,R≧0 かつ（P,Q,R）（a,b,c）は同順序なので Schurの拡張で成立..
609(1): 2017/08/19(土)14:37 ID:Q+nr/ATk(5/9) AAS
>>608
Schurの拡張について詳しく教えてください。
f : R→(0,∞) が単調増加 or 単調減少のとき、a, b, c∈R に対して、
f(a)(a-b)(a-c) + f(b)(b-c)(b-a) + f(c)(c-a)(c-b) ≧0
というのは知っているけど、この場合は f(x) が f(a,b,c)の3変数関数で、
同順序ならokってのが、ピンと来ない…
610(1): 2017/08/19(土)15:39 ID:Q+nr/ATk(6/9) AAS
>>600-602
> a,b,c>0 abc=1のとき、1 < 1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c) < 2
>>583の真似をして上限を出してみたなり。 ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c)
= 1 + (1-ab)/(1+a+b+ab) + 1/(1+c)
< 1 + 1/(1+ab) + 1/(1+c)
= 1 + c/(1+c) + 1/(1+c)
= 2
611: 2017/08/19(土)16:13 ID:Qk9aUlzH(1/3) AAS
>>610
>>583
その解き方で本当に上限下限って言えるの？
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