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不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
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592: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/16(水) 07:17:47.30 ID:QnvYtidY >>588 （HM)^2 ≧（4/√3)S ⇔ (3√3)(abc)^2 ≧ 4(ab+bc+ca)^2 √{s(s-a)(s-b)(s-c)} ⇔ (3√3) sin A sin B sin C ≧ 2 (sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A)^2 この証明は難しいのでは？ a, b, c で表しても、sin で表してもややこしい。 レムスで削り落としても、まだ複雑な形でござる… Lehmu's inequality ： abc ≧ (s-a)(s-b)(s-c) , / , , / / , / , / '＾ﾒ-' ─/- ､ / , ∠ｒ _,゛_ / , ヽ/__/ ﾓｳ ﾀﾞﾒﾎﾟ… ''ヽ'_･.ノ｀ ' ｒ/、 ﾍ /‐’ ./ " j 厂ﾞj | ﾚ_｀> j__ / ' .:‘::'ニ‘.:‐'´─ﾞ.:´一’ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/592
593: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/16(水) 08:03:22.63 ID:QnvYtidY >>592 左辺の係数間違ごうとる （HM)^2 ≧（4/√3)S ⇔ (9√3)(abc)^2 ≧ 4(ab+bc+ca)^2 √{s(s-a)(s-b)(s-c)} ⇔ (9√3) sin A sin B sin C ≧ 2 (sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A)^2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/593
594: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/16(水) 13:54:15.29 ID:QnvYtidY >>592 （HM)^2 ≧（4/√3)S ⇔ (x+y+z)/3 ≧ (xyz)^(1/3) ラビで一発だった。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/594
595: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/16(水) 14:18:02.07 ID:QnvYtidY >>594 いや別の不等式の話でした。 ごめん、あれこれ弄っていて混乱していました。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/595
596: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/18(金) 01:02:25.04 ID:90S02hzN >>588-595 HM^2 と (4/√3)S の大小 1辺だけが短い楔状△の場合は不成立のようでござる。 手間取らせて、すまぬ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/596
597: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/18(金) 11:06:43.92 ID:WHydeLcz >>596 さんくす。(a,b,c)=(1/3,1,1)で、HMの方が小さくなりますね。 [疑問] HM ≧ （2/√3)r は成り立つか？ b=c=1、0<a<2でWolfram先生にグラフを書かせたら、０以上っぽいので、基本対称式で表すと、 (HM^2 - 12r)/3 の分子 = 3su^2+s^3t^2-4st^3+8t^2u = (s^2-3t)st^2 - (t^2-3su)u = 正 - 正 で、この方法では失敗でござった。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/597
598: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/18(金) 12:33:10.09 ID:WHydeLcz >>597 ちがった。最後は (s^3t^2-4st^3+9t^2u) - (t^2-3su)u http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/598
599: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/18(金) 17:50:32.42 ID:WHydeLcz >>449、>>583、>>586 > a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧ 3/2 >>586 > 1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝≧ 3/(1+abc), > > バルカンMO-2006、文献［9］ 佐藤(訳)、問題3.93 似たような不等式を見つけた。 [IMO 1995 第2問] http://www.cs.cornell.edu/~asdas/imo/imo/imo95.html 1/(a^3*(b+c)) + 1/(b^3*(c+a)) + 1/(c^3*(a+b)) ≧ 3/2. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/599
600: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/18(金) 18:07:26.70 ID:WHydeLcz >>449、>>455、>>583 a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、3 > 1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c) > 1 上限を厳しく評価するには、どういう考え方でやればいいんでせうか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/600
601: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/18(金) 22:17:20.07 ID:/k+bKW+I >>600 f(x)=1/(1+e^x) x+y+z=0 なる実数 x, y, z に対して f(x)+f(y)+f(z) の上限を調べればよい f は x<=0 で狭義凸だから LCF から y=x, z=-2x のときの上限を調べれよばよい sup 2f(x)+f(-2x) = 2 よって上限は 2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/601
602: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/19(土) 03:06:30.81 ID:HQ7H9Ohy >>599 x=1/a、ｙ=1/b、z=1/c とおくと、xyz=1 S = xx/(y+z）+ yy/(z+x）+ zz/(x+y) ≧ (x+y+z)^2 /{(y+z)+(z+x)+(x+y)｝ (←コーシー) =（x+y+z)/2 ≧3/2, 文献[9] 佐藤(訳）例1.4.9 >>600 a,b,… のうち最小のものをmとおきます。（m≦1) 1より大きい2要素 p,q があったときは (p, q）→（m, pq/m）と置き換えてみます。 このとき相乗平均は変わらず、 （m + pq/m）-（p+q）= (p-m)(q-m)/m ≧ 0 ゆえ左辺は 1/(1+m）+ 1/(1+pq/m）- 1/(1+p）- 1/(1+q） = (2+m+pq/m)/{(1+m)(1+pq/m)｝-（2+p+q)/{(1+p)(1+q)｝ =（2+m+pq/m)/{1+(m+pq/m)+pq｝-（2+p+q)/{1+(p+q)+pq｝ = -(pq-1)/{1+(m+pq/m)+pq｝+（pq-1)/{1+(p+q)+pq｝ ≧0 増大します。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/602
603: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/19(土) 03:14:58.76 ID:Q+nr/ATk LCF、RCF、LCRCF、SIP、EV、AC(UMV)、GI、GC、SMV…。さっぱり http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/603
604: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/19(土) 04:32:39.26 ID:Q+nr/ATk >>4 に追加。 Vasile Cirtoaje http://ac.upg-ploiesti.ro/vcirtoaje/vcirtoaje.php 柳田五夫、初等的な不等式?ほか http://izumi-math.jp/I_Yanagita/I_Yanagita.html http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/604
605: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/19(土) 04:33:53.44 ID:Q+nr/ATk >>601-602 ありがとうございまする。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/605
606: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/19(土) 05:22:53.63 ID:Q+nr/ATk Arithmetic Compensation Theorem (AC-Theorem) Equal Variable Theorem (EV-Theorem) Half Convex Function Theorem (HCF-Theorem) Left Concave Function Theorem (LCF-Theorem) Right Convex Function theorem (RCF-Theorem) Left Convex-Right Concave Function Theorem (LCRCF-Theorem) Single Inflection Point Theorem (SIP-Theorem) Strong Mixing Variables Theorem (SMV-Theorem) GC-Theorem （文献[8] 安藤 P.197）は何の略？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/606
607: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/19(土) 10:17:54.83 ID:F2dH2OvX >>606 AC が arithmetic なんだから GC はgeometric でしょ... http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/607
608: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/19(土) 13:16:25.17 ID:HQ7H9Ohy >>597 >>598 s^3 -4st +9u = a(a-b)(a-c）+ b(b-c)(b-a）+ c(c-a)(c-b), tt-3su = bc(a-b)(a-c）+ ca(b-c)(b-a）+ ab(c-a)(c-b), より (s^3 -4st +9u)tt - (tt-3su)u = P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b), ここに P=a(tt-bbcc)，Q=b(tt-ccaa)，R=c(tt-aabb), P,Q,R≧0 かつ（P,Q,R）（a,b,c）は同順序なので Schurの拡張で成立.. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/608
609: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/19(土) 14:37:54.57 ID:Q+nr/ATk >>608 Schurの拡張について詳しく教えてください。 f : R→(0,∞) が単調増加 or 単調減少のとき、a, b, c∈R に対して、 f(a)(a-b)(a-c) + f(b)(b-c)(b-a) + f(c)(c-a)(c-b) ≧0 というのは知っているけど、この場合は f(x) が f(a,b,c)の3変数関数で、 同順序ならokってのが、ピンと来ない… http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/609
610: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/19(土) 15:39:17.29 ID:Q+nr/ATk >>600-602 > a,b,c>0, abc=1のとき、1 < 1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c) < 2 >>583の真似をして上限を出してみたなり。 ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！ 1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c) = 1 + (1-ab)/(1+a+b+ab) + 1/(1+c) < 1 + 1/(1+ab) + 1/(1+c) = 1 + c/(1+c) + 1/(1+c) = 2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/610
611: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/19(土) 16:13:06.10 ID:Qk9aUlzH >>610 >>583 その解き方で本当に上限下限って言えるの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/611
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