[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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76(2): 2017/07/14(金)01:59 ID:54s0BI7v(1/6) AAS
>>72
A.422
(左辺)^2 ≦ n｛Σ[i=1,n] x(i)[S-x(i)] }
≦｛Σ[i=1,n] x(i)} {Σ[j=1,n] [S-x(j)]} (チェビシェフ)
= S・(n-1)S
でもいいか...
〔B.3987.改〕
n個の正数｛a,b,c, …,z｝がある。
連続するk項の和を巡回的に掛けたものを Ｐ_k とおく。
Ｐ_1 = abcd…z,
省7
77(6): 2017/07/14(金)02:41 ID:5qutPAyo(1) AAS
>>72
蒐集癖に火がついたでござる ( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ…
以下、a, b, c は a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 をみたす正の実数とする。←非負実数でいいよね？多分…
(1) a+b+c ≧ ab+bc+ca
(2) abc+2 ≧ ab+bc+ca ≧ abc
(3) a+b+c<3
(4) (2+a)(2+b)(2+c) ≧27abc
(5) sqrt{(2-a)/(2+a)} + sqrt{(2-b)/(2+b)} + sqrt{(2-c)/(2+c)} ≧ 3
(5)は、リンク先を見ると
sqrt{(2-a)/(2+a)} + sqrt{(2-b)/(2+b)} + sqrt{(2-c)/(2+c)} ≧ 3sqrt{3} ≧ sqrt(4-a^2) + sqrt(4-b^2) + sqrt(4-b^2)
省7
78: 2017/07/14(金)04:47 ID:54s0BI7v(2/6) AAS
>>77
(3) はイランMO-2002、A16 かな？
Solution 見ても出典が無い。ほんとに KoMaL
「博士の愛した不等式」慎重文庫（2005）
79(1): 2017/07/14(金)04:54 ID:54s0BI7v(3/6) AAS
>>76
〔B.3987.改〕
k≦L のとき、Ｐ_k・Ｐ_L ≦ Ｐ_{k-1}･Ｐ_{L+1}
80: 2017/07/14(金)10:25 ID:54s0BI7v(4/6) AAS
>>66 下
a+b-c=z，b+c-a=x，c+a-b=y とおく。(*)
x,y,zは任意の正数。
a+b+c = x+y+z,
xy = cc-(a-b)^2 ≦ cc,
yz = aa-(b-c)^2 ≦ aa,
zx = bb-(c-a)^2 ≦ bb,
log（左辺）= a log(z）+ b log(x）+ c log(y)
= (y/2)log(yz) + (z/2)log(zx) + (x/2)log(xy)
≦ y log(a) + z log(b) + x log(c)
省2
81: 2017/07/14(金)13:02 ID:54s0BI7v(5/6) AAS
>>69
[第5章.667]
a+b+c+d = s，ab+ac+ad+bc+bd+cd = t，abc+abd+acd+bcd = u とおく。
2tt - (9/2)su =（ab-cd)^2 + (ac-bd)^2 + (ad-bc)^2 + (1/4)(aa+bb)(c-d)^2 + … ≧ 0,
2st - 12u =（a+b)(c-d)^2 + (a+c)(b-d)^2 + … + (c+d)(a-b)^2 ≧ 0,
∴ 2t^3 ≧ 27uu,
82: 2017/07/14(金)18:29 ID:54s0BI7v(6/6) AAS
〔B.3987.改〕の略証を
>>76
a_2 + a_3 + … + a_k = s とおく。
(a_1+a_2+…+a_k)(a2+a3+…+a(k+1)) = (a_1 + s)(s + a_(k+1)) > s{a_1 + s + a_(k+1)}
巡回的に掛ける。
>>79
k=L のときは >>76
k<L のときも
{Ｐ_k Ｐ_L}/{Ｐ_(k-1) Ｐ_(L+1)｝=｛(Ｐ_k)^2/Ｐ_(k-1)Ｐ_(k+1)}×{(Ｐ_(k+1))^2/Ｐ_k Ｐ_(k+2)}×
…… ×{(Ｐ_L)^2/Ｐ_(L-1)Ｐ_(L+1)} > 1,
83: 2017/07/15(土)03:33 ID:jZ3tY0g5(1/3) AAS
>>69
[第2章.144]
0 ≦ a ≦b,c としてよい。
4(a+b+c)^3 - 27(aab+bbc+cca+abc) = 9a(aa+bb+cc-ab-bc-ca) + (4b+c-5a)(a+b-2c)^2 ≧0,
等号成立は (a,b,c) = (0,2/3,1/3) とその rotation
カナダMO-1995 A.5
安藤哲哉：「不等式」数学書房（2012) 例題2.2.12(7)
84(1): 2017/07/15(土)03:52 ID:jZ3tY0g5(2/3) AAS
>>69
[第6章.908]
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc とおく。
st = (aaa+bbb+ccc)＋(abb+bcc+caa)＋(aab+bbc+cca) = S+p+q ≧ 3(Spq)^(1/3),
pq = T+uS+3uu ≧ 3(3STU)^(1/3) ≧ 3√(3SU),
∴ S+p+q ≧ 3(Spq)^(1/3) ≧ 3√(3Su),
ここに、S=aaa+bbb+ccc、T=(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3、U=(abc)^3.
Casphy!-不等式2-177
85: 2017/07/15(土)04:39 ID:yYh8jteX(1/2) AAS
そういえば、数蝉2017.08のエレガント第２問が、関数の最大最小値問題だったね。締切まで答えは書けないけど。
86: 2017/07/15(土)07:59 ID:OkWeDr+1(1) AAS
学コンの答えを締切前に発表したら刑事事件に発展するの？
業務妨害？
87: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土)08:12 ID:qAOI4WFY(1/23) AAS
■■■輝かしい日本の未来の学問は、馬鹿板をしない国民一人一人が作るもの。■■■
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88: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土)09:04 ID:qAOI4WFY(2/23) AAS
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89: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土)09:04 ID:qAOI4WFY(3/23) AAS
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90: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土)09:04 ID:qAOI4WFY(4/23) AAS
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91: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土)09:05 ID:qAOI4WFY(5/23) AAS
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92: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土)09:05 ID:qAOI4WFY(6/23) AAS
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93: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土)09:05 ID:qAOI4WFY(7/23) AAS
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94: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土)09:06 ID:qAOI4WFY(8/23) AAS
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95: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土)09:06 ID:qAOI4WFY(9/23) AAS
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