[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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968: 2017/09/12(火)02:14 ID:YsdDbYfo(1/3) AAS
>>389 >>954
⇒ は簡単なんでつが… >>568
三角形を回して考えるのかな。
p’，r’，t’< v’ ならば ｘ→∞
p’，r’，t’ > v’ ならば ｘ→0
q’，s’，u’< w’ ならば y→∞
q’，s’，u’ > w’ ならば y→0
として反例を探す。
969(1): 2017/09/12(火)03:54 ID:YsdDbYfo(2/3) AAS
>>947
AM-GM で
（aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）-（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa)
=｛(aabb+c^4)/2 +2ccaa}(a-b)^2 +｛(bbcc+a^4)/2 +2aabb}(b-c)^2 +｛(ccaa+b^4)/2 +2bbcc}(c-a)^2 + 2abc⊿
≧ 2ccaa(a-b)^2 + 2aabb(b-c)^2 + 2bbcc(c-a)^2 +2abc⊿
= 2abc{(ca/b)(a-b)^2 +（ab/c)(b-c)^2 +（bc/a)(c-a)^2 + ⊿}
≧ 0,
ここに、⊿ =（a-b)(b-c)(c-a),
〔補題〕
-1/2 < ⊿／｛(ca/b)(a-b)^2 +（ab/c)(b-c)^2 +（bc/a)(c-a)^2｝≦（7-3√3)/22 = 0.0819930717
省2
970: 2017/09/12(火)09:02 ID:bjO3mpkI(1) AAS
和積版並べ替え不等式で一発
971: 2017/09/12(火)14:13 ID:YsdDbYfo(3/3) AAS
>>969
AM-GMで
(aabb+c^4)/2（a-b)^2 +（bbcc+a^4)/2（b-c)^2 +（ccaa+b^4)/2（c-a)^2 + abc⊿
≧ abc{c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + ⊿}
= 2(abb+bcc+caa - 3abc)
≧ 0, ［第４章.626］
を使うと、
（aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）-（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa)
≧ abc{2(ca/b)(a-b)^2 + 2(ab/c)(b-c)^2 + 2(bc/a)(c-a)^2 + ⊿},
972(4): 2017/09/12(火)20:07 ID:bmf0+g5o(1/4) AAS
AA省
973(1): 2017/09/12(火)20:10 ID:bmf0+g5o(2/4) AAS
【おまけ】 難易度：鼻くそ
a,b,c,d,e>0 に対して、a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 ≧ (a+b+c+d)e
974(2): 2017/09/12(火)23:02 ID:bmf0+g5o(3/4) AAS
>>972 を改造しようとして、λの最小値を出そうとしたが、挫折したでござる。
a, b, c, d >0 に対して、a + (ab)^(1/2) + (abc)^(1/3) + (abcd)^(1/4) ≦ λ*(a+b+c+d)
975(1): 2017/09/12(火)23:20 ID:N0+9SYTs(1) AAS
>>972
Tournament of the town
a/12 + b/3 + 4c/3 >= (abc)^(1/2)
a/4 + b >= (ab)^(1/2)
>>973
L - R = (a-e/2)^2 + …
976(1): 2017/09/12(火)23:30 ID:bmf0+g5o(4/4) AAS
>>972
２文字なら簡単に作れるのでおじゃるが…
a, b >0 に対して、a + (ab)^(1/2) ≦ {(1+√2)/2}*(a+b)
977(1): 2017/09/13(水)03:07 ID:i1anpb+k(1/18) AAS
AA省
978: 2017/09/13(水)06:13 ID:HyiuMNX2(1/2) AAS
耳栓をしたら世界が変わってワロタ
979(4): 2017/09/13(水)07:02 ID:jekxCsX+(1/3) AAS
>>974
a = a,
√ab ≦｛1/(2√p)｝（a+pb),
（abc)^(1/3）≦｛1/[3(pq)^(1/3)]｝（a+pb+qc),
（abcd)^(1/4）≦｛1/[4(pqr)^(1/4)]｝（a+pb+qc+rd),
ここに、
p = 3.37617521979458
q = 9.55342152751350
r = 32.2851876698453
辺々たすと
省1
980: 2017/09/13(水)10:07 ID:i1anpb+k(2/18) AAS
>>975
顔文字(ToT)の正体は Tournament of the town なのか…
幾つかの国でやっているようだから、出題年度だけでは見つけるのは大変でござるな。
wiki (Tournament of the town)
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
AoPS
外部ﾘﾝｸ:artofproblemsolving.com
加奈陀
外部ﾘﾝｸ[php]:www.math.toronto.edu
独逸
省6
981(1): 2017/09/13(水)10:15 ID:i1anpb+k(3/18) AAS
>>979
３変数でよかったのか…。次のように６変数でやっていますた。
a = a
√ab = √{(pa)(b/p)} ≦ {(pa)+(b/p)}/2
（abc)^(1/3） = {（qa)(rb)(c/pq))}^(1/3） ≦ {（qa)+(rb)+(c/pq)}/3
（abcd)^(1/4） = {（sa)(tb)(uc)(d/stu)}^(1/4） ≦ {（sa)+(tb)+(uc)+(d/stu)}/4
1 + p/2 + q/3 + s/4 = 1/2p + 3/r + t/4 = 1/3pq + u/4 = 1/4stu
pa = b/p
qa = rb = c/pq
sa = tb = uc = d/stu
982: 2017/09/13(水)10:36 ID:i1anpb+k(4/18) AAS
>>4
埋蔵地のリンクが切れているところが結構あるので修正中。
>>1の過去ログ・まとめサイト、>>2の和書以外は、まとめサイト参照でいいかもね。
983: 2017/09/13(水)10:49 ID:i1anpb+k(5/18) AAS
>>165
[不等式 第7章 241]
> 0<x<y<π/2の時
> (tanx/x)^x+(siny/y)^y<(tany/y)^y+(sinx/x)^x
> を示せ
これも未解決ですな
984(1): 2017/09/13(水)10:49 ID:i1anpb+k(6/18) AAS
>>469
> >>388
> >>456
> 相当な量の改良問題があった
>
> for reals
> [1] (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) >= (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a)
> [2] ((a^2+3)(b^2+3)(c^2+3))^2 >= 512(a+b)(b+c)(c+a)
>
> for nonnegarives
省11
985: 2017/09/13(水)11:15 ID:i1anpb+k(7/18) AAS
数研通信に SMV-Theorem についての解説があった。
数検通信
外部ﾘﾝｸ[html]:www.chart.co.jp
89号、対称的な不等式の証明方法について、柳田五夫 ← コレ
他に不等式絡みの記事
80号、3次の同次対称式P(a,b,c)の不等式について、柳田五夫
76号、絶対値記号を含む不等式について、柳田五夫
75号、不等式の証明に役立つ不等式と接線の利用について、柳田五夫
66号、1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/e (a,b,c,d,e∈N)の最大値について、柳田五夫
60号、接線を利用した台形の面積で，ある不等式を証明する、柳田五夫
省12
986: 2017/09/13(水)11:22 ID:i1anpb+k(8/18) AAS
新スレを建てたでござる。
今後とも御指導お願いしますでござる。
不等式への招待 第９章
2chｽﾚ:math
987(1): 2017/09/13(水)12:57 ID:i1anpb+k(9/18) AAS
>>979
ｐ, q, r の値は具体的にどう表されるのですか？ 解くのは大変そうですが…
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