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不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
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467: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/09(水) 22:45:59.22 ID:A2I5YGTu 不等式が少しだけ載っているというタレコミがあったので、事情徴収（立ち読み）してきた。 容疑者 ： 佐久間一浩、『高校数学と大学数学の接点』、PP.18-30 (1) PP.18-24 三角形の辺長を a, b, c、面積をSとするとき、a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S. (2) PP.25-30 R ≧ 2r （球殻不等式） (1)に対して、８通りの証明を与えていた。 (2)は d^2 = R^2 - 2Rr （茶ップル-オイラーの定理）を証明して片付けていた。 ここで d は外心と内心の距離。 ∧,,∧ (`･ω･´) ８通りの証明だと？ 詳しく聞こうか？ （ ） ￣￣Φ口U￣￣＼ _ _. ＼ ＿（ ） ← 佐久間＼ ￣┏┳┓） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/467
468: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/09(水) 22:47:06.98 ID:A2I5YGTu >>467 > 三角形の辺長を a, b, c、面積をSとするとき、a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S. （証明１） ヘロンの公式を使って a, b, c だけの式にして、(左辺)^2 - (右辺)^2 （証明２） 面積公式と余弦定理を使って a, b, c だけの式にして、(左辺)^2 - (右辺)^2 （証明３） b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおいて、AM-GM とヘロンの公式。 （証明４） a^2 + b^2 + c^2 ≧ ab+bc+ca の右辺に正弦定理を用いてから、凸不等式。 （証明５） a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S + (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} を証明。 （証明６） a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S + (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 を証明。 （証明７） 証明６の不等式を三角関数で証明。 （証明８） 座標平面上に、頂点を A(a/2,0)、B(-a/2,0)、C(s,t)、t>0 とおいて計算。 --------------------------------------------------------------------- [1] そもそもヘロンの公式は、面積公式と余弦定理から三角関数を消去して得られるものだから、 証明１と証明２は全く同じものである。証明６と証明７も一緒。つまり６通りの証明ですな。 [2] この不等式には、オノとかフランダースとか、なんか名前はついていないのかな？ [3] 他に証明は無いのかな。証明３と実質同じだが、Ravi変換くらいしか思いつかない。 ヘロンの公式を行列式で表すと、S = (√D)/4。ここでDは以下の行列式。 |0 1 1 1 | |1 0 a^2 b^2| |1 a^2 0 c^2| |1 b^2 c^2 0 | http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/468
469: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/09(水) 22:48:59.09 ID:DWUU74oj >>388 >>456 相当な量の改良問題があった for reals [1] (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) >= (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a) [2] ((a^2+3)(b^2+3)(c^2+3))^2 >= 512(a+b)(b+c)(c+a) for nonnegarives [3] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 3(a+b+c)^2+(abc-1)^2 [4] (x^2+2)(y^2+2)(z^2+2) >= 4(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+zx)+(xyz-1)^2 [5] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 4(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ca)+(abc(a-1)^2(b-1)^2(c-1)^2)^(1/3) AOPS [1], [2] : c6h588096p3481394 [3] : c6h4830p15309 [4], [5] : c6h581954p3438879 他にもいろいろ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/469
470: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/09(水) 22:51:59.96 ID:A2I5YGTu >>469 ｷﾀ─ｗｗﾍ√ﾚｖｖ〜(ﾟ∀ﾟ)─ｗｗﾍ√ﾚｖｖ〜─ !! 素晴らしい！ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/470
471: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/10(木) 00:03:36.94 ID:ZcMNVdrv [出典不明] 実数 a,b,c,x,y,z が ax-2by+cz=0 かつ ac > b^2 > 0 をみたすとき、y^2 ≧ xz を示せ。 こういう掴みどころのない問題は、改造や類題を作りにくいので困る。 ('A`)ｳﾞｫｴｧ！ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/471
472: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/10(木) 01:44:43.71 ID:DPXWgKrx >>471 xz≦0 のときは明らか。 xz>0 のとき 4{bbyy -（ax)(cz)｝≧（2by)^2 -（ax+cz)^2 = -(ac-2by+cz)(ac+2by+cz）= 0, ∴ yy ≧（ac/bb）xz ≧ xz, http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/472
473: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/10(木) 02:37:02.72 ID:DPXWgKrx >>467 (2) △の3辺を切る円はその内接円より大きい、を認めよう。 △の各辺の中点を通る円を考える。 この円は半径R/2であるが、△の3辺を切る。 R/2 ≧ r （清水多門氏による） 文献[3]、p.7-8 例題4 >>2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/473
474: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/10(木) 02:40:57.40 ID:JHmEReZW ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/474
475: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/10(木) 02:41:14.29 ID:JHmEReZW ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/475
476: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/10(木) 02:41:29.35 ID:JHmEReZW ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/476
477: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/10(木) 02:41:43.79 ID:JHmEReZW ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/477
478: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/10(木) 02:41:59.14 ID:JHmEReZW ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/478
479: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/10(木) 02:42:15.31 ID:JHmEReZW ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/479
480: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/10(木) 02:42:31.29 ID:JHmEReZW ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/480
481: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/10(木) 02:42:46.34 ID:JHmEReZW ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/481
482: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/10(木) 02:43:01.62 ID:JHmEReZW ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/482
483: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/10(木) 02:43:27.08 ID:JHmEReZW ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/483
484: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/10(木) 02:47:00.98 ID:ZcMNVdrv >>414 > 実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、 > a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。 追加問題 ： 同じ条件の下で、aのとりうる値の範囲を求めよ。 | ＼ __ ／ ＿ （ｍ） ＿ﾋﾟｺｰﾝ |ミ| ／＿＿＿＼ .／ ≧ ＼ |:::: ＼ .／ | |::::: (● (● | ＜ 改造せずにはいられない！ ヽ::::... .ワ.....ノ （閃いたが、簡単過ぎる…） 人つゝ 人,, Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒〜ゞ ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡 `⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿 ⌒〜⌒ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/484
485: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/10(木) 02:48:50.76 ID:JHmEReZW ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/485
486: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/10(木) 02:58:19.02 ID:DPXWgKrx >>449 (4) チェビシェフにより （左辺）≧ a/{(1+b)(1+c)｝+ b/{(1+c)(1+a)｝+ c/{(1+a)(1+b)｝ =｛a(1+a）+ b(1+b）+ c(1+c)}/{(1+a)(1+b)(1+c)} ≧(s+t)/(1+s+t+u), ≧ 3/4, ∵題意より u=abc=1 ゆえ s+t≧3{u^(1/3)+u^(2/3)｝= 6, http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/486
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