[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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587(1): 2017/08/15(火)00:00 ID:CDzXTDus(1/2) AAS
>>584

（AB+BC+CA)/3 ≧ √{(A+B+C)ABC/3} =（4/√3)S,　>>554
（HM)^2 ≧（4/√3)S
にて御座候。

HM と √{(AB+BC+CA)/3｝の大小は不定と思われ...

き、きりがねぇ。。。

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588(1): 2017/08/15(火)11:55 ID:MRdTx6vq(1/3) AAS
>>587
> （HM)^2 ≧（4/√3)S

これがうまく証明できませぬ…

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589(2): 2017/08/15(火)11:56 ID:MRdTx6vq(2/3) AAS
AA省

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590(1): 2017/08/15(火)12:37 ID:MRdTx6vq(3/3) AAS
>>589
> >>584-585より、
> (√3)R ≧ (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ AM ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r
>
> ところで、三角形の辺長a,b,cに対して、2(ab+bc+ca) > (1/2)(a+b+c)^2 > a^2+b^2+c^2 だから、

GMの左側から合体させたら、
√{(ab+bc+ca)/3} ＞ (a+b+c)/(2√3) ＞ √|(a^2+b^2+c^2)/6} ≧ GM/(√2)
√{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r

この2つは合体は無理そうかな。上側はGMより小さくなってるようだし…

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591: 2017/08/15(火)13:03 ID:CDzXTDus(2/2) AAS
>>589

{√2(ab+bc+ca)/3｝>（a+b+c)/√6 > √{(aa+bb+cc)/3｝≧ AM

>>590

正△でも等号不成立なので、無理そうでござる。

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592(2): 2017/08/16(水)07:17 ID:QnvYtidY(1/4) AAS
AA省

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593: 2017/08/16(水)08:03 ID:QnvYtidY(2/4) AAS
>>592
左辺の係数間違ごうとる

（HM)^2 ≧（4/√3)S
⇔ (9√3)(abc)^2 ≧ 4(ab+bc+ca)^2 √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
⇔ (9√3) sin A sin B sin C ≧ 2 (sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A)^2

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594(2): 2017/08/16(水)13:54 ID:QnvYtidY(3/4) AAS
>>592
（HM)^2 ≧（4/√3)S ⇔ (x+y+z)/3 ≧ (xyz)^(1/3)

ラビで一発だった。

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595: 2017/08/16(水)14:18 ID:QnvYtidY(4/4) AAS
>>594
いや別の不等式の話でした。
ごめん、あれこれ弄っていて混乱していました。

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596(1): 2017/08/18(金)01:02 ID:90S02hzN(1) AAS
>>588-595

HM^2 と (4/√3)S の大小
1辺だけが短い楔状△の場合は不成立のようでござる。

手間取らせて、すまぬ。

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597(3): 2017/08/18(金)11:06 ID:WHydeLcz(1/4) AAS
>>596
さんくす。(a,b,c)=(1/3,1,1)で、HMの方が小さくなりますね。

[疑問] HM ≧ （2/√3)r は成り立つか？

b=c=1、0<a<2でWolfram先生にグラフを書かせたら、０以上っぽいので、基本対称式で表すと、
(HM^2 - 12r)/3 の分子
= 3su^2+s^3t^2-4st^3+8t^2u
= (s^2-3t)st^2 - (t^2-3su)u
= 正 - 正
で、この方法では失敗でござった。

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598(2): 2017/08/18(金)12:33 ID:WHydeLcz(2/4) AAS
>>597
ちがった。最後は
(s^3t^2-4st^3+9t^2u) - (t^2-3su)u

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599(1): 2017/08/18(金)17:50 ID:WHydeLcz(3/4) AAS
>>449、>>583、>>586
> a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧ 3/2

>>586
> 　1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝≧ 3/(1+abc),
>
> 　バルカンMO-2006、文献［9］ 佐藤(訳)、問題3.93

似たような不等式を見つけた。
[IMO 1995 第2問] 外部ﾘﾝｸ[html]:www.cs.cornell.edu

1/(a^3*(b+c)) + 1/(b^3*(c+a)) + 1/(c^3*(a+b)) ≧ 3/2.

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600(3): 2017/08/18(金)18:07 ID:WHydeLcz(4/4) AAS
>>449、>>455、>>583
a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、3 > 1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c) > 1

上限を厳しく評価するには、どういう考え方でやればいいんでせうか？

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601(2): 2017/08/18(金)22:17 ID:/k+bKW+I(1) AAS
>>600
f(x)=1/(1+e^x)
x+y+z=0 なる実数 x, y, z に対して f(x)+f(y)+f(z) の上限を調べればよい
f は x<=0 で狭義凸だから LCF から y=x, z=-2x のときの上限を調べれよばよい
sup 2f(x)+f(-2x) = 2
よって上限は 2

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602(2): 2017/08/19(土)03:06 ID:HQ7H9Ohy(1/3) AAS
>>599
x=1/a、ｙ=1/b、z=1/c とおくと、xyz=1
S = xx/(y+z）+ yy/(z+x）+ zz/(x+y)
≧ (x+y+z)^2 /{(y+z)+(z+x)+(x+y)｝　　(←コーシー)
=（x+y+z)/2
≧3/2,
　文献[9] 佐藤(訳）例1.4.9

>>600
　a,b,… のうち最小のものをmとおきます。（m≦1)
　1より大きい2要素 p,q があったときは
省9

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603: 2017/08/19(土)03:14 ID:Q+nr/ATk(1/9) AAS
LCF、RCF、LCRCF、SIP、EV、AC(UMV)、GI、GC、SMV…。さっぱり

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604: 2017/08/19(土)04:32 ID:Q+nr/ATk(2/9) AAS
>>4 に追加。

Vasile Cirtoaje
外部ﾘﾝｸ[php]:ac.upg-ploiesti.ro

柳田五夫、初等的な不等式�Vほか
外部ﾘﾝｸ[html]:izumi-math.jp

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605: 2017/08/19(土)04:33 ID:Q+nr/ATk(3/9) AAS
>>601-602
ありがとうございまする。

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606(1): 2017/08/19(土)05:22 ID:Q+nr/ATk(4/9) AAS
Arithmetic Compensation Theorem (AC-Theorem)
Equal Variable Theorem (EV-Theorem)
Half Convex Function Theorem (HCF-Theorem)
Left Concave Function Theorem (LCF-Theorem)
Right Convex Function theorem (RCF-Theorem)
Left Convex-Right Concave Function Theorem (LCRCF-Theorem)
Single Inflection Point Theorem (SIP-Theorem)
Strong Mixing Variables Theorem (SMV-Theorem)

GC-Theorem （文献[8] 安藤 P.197）は何の略？

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