[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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601(2): 2017/08/18(金)22:17 ID:/k+bKW+I(1) AAS
>>600
f(x)=1/(1+e^x)
x+y+z=0 なる実数 x, y, z に対して f(x)+f(y)+f(z) の上限を調べればよい
f は x<=0 で狭義凸だから LCF から y=x, z=-2x のときの上限を調べれよばよい
sup 2f(x)+f(-2x) = 2
よって上限は 2
602(2): 2017/08/19(土)03:06 ID:HQ7H9Ohy(1/3) AAS
>>599
x=1/a、ｙ=1/b、z=1/c とおくと、xyz=1
S = xx/(y+z）+ yy/(z+x）+ zz/(x+y)
≧ (x+y+z)^2 /{(y+z)+(z+x)+(x+y)｝ (←コーシー)
=（x+y+z)/2
≧3/2,
文献[9] 佐藤(訳）例1.4.9
>>600
a,b,… のうち最小のものをmとおきます。（m≦1)
1より大きい2要素 p,q があったときは
省9
603: 2017/08/19(土)03:14 ID:Q+nr/ATk(1/9) AAS
LCF、RCF、LCRCF、SIP、EV、AC(UMV)、GI、GC、SMV…。さっぱり
604: 2017/08/19(土)04:32 ID:Q+nr/ATk(2/9) AAS
>>4 に追加。
Vasile Cirtoaje
外部ﾘﾝｸ[php]:ac.upg-ploiesti.ro
柳田五夫、初等的な不等式Ⅲほか
外部ﾘﾝｸ[html]:izumi-math.jp
605: 2017/08/19(土)04:33 ID:Q+nr/ATk(3/9) AAS
>>601-602
ありがとうございまする。
606(1): 2017/08/19(土)05:22 ID:Q+nr/ATk(4/9) AAS
Arithmetic Compensation Theorem (AC-Theorem)
Equal Variable Theorem (EV-Theorem)
Half Convex Function Theorem (HCF-Theorem)
Left Concave Function Theorem (LCF-Theorem)
Right Convex Function theorem (RCF-Theorem)
Left Convex-Right Concave Function Theorem (LCRCF-Theorem)
Single Inflection Point Theorem (SIP-Theorem)
Strong Mixing Variables Theorem (SMV-Theorem)
GC-Theorem （文献[8] 安藤 P.197）は何の略？
607: 2017/08/19(土)10:17 ID:F2dH2OvX(1) AAS
>>606
AC が arithmetic なんだから GC はgeometric でしょ...
608(2): 2017/08/19(土)13:16 ID:HQ7H9Ohy(2/3) AAS
>>597 >>598
s^3 -4st +9u = a(a-b)(a-c）+ b(b-c)(b-a）+ c(c-a)(c-b),
tt-3su = bc(a-b)(a-c）+ ca(b-c)(b-a）+ ab(c-a)(c-b),
より
(s^3 -4st +9u)tt - (tt-3su)u = P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b),
ここに
P=a(tt-bbcc)，Q=b(tt-ccaa)，R=c(tt-aabb),
P,Q,R≧0 かつ（P,Q,R）（a,b,c）は同順序なので Schurの拡張で成立..
609(1): 2017/08/19(土)14:37 ID:Q+nr/ATk(5/9) AAS
>>608
Schurの拡張について詳しく教えてください。
f : R→(0,∞) が単調増加 or 単調減少のとき、a, b, c∈R に対して、
f(a)(a-b)(a-c) + f(b)(b-c)(b-a) + f(c)(c-a)(c-b) ≧0
というのは知っているけど、この場合は f(x) が f(a,b,c)の3変数関数で、
同順序ならokってのが、ピンと来ない…
610(1): 2017/08/19(土)15:39 ID:Q+nr/ATk(6/9) AAS
>>600-602
> a,b,c>0 abc=1のとき、1 < 1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c) < 2
>>583の真似をして上限を出してみたなり。 ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c)
= 1 + (1-ab)/(1+a+b+ab) + 1/(1+c)
< 1 + 1/(1+ab) + 1/(1+c)
= 1 + c/(1+c) + 1/(1+c)
= 2
611: 2017/08/19(土)16:13 ID:Qk9aUlzH(1/3) AAS
>>610
>>583
その解き方で本当に上限下限って言えるの？
612: 2017/08/19(土)16:34 ID:Q+nr/ATk(7/9) AAS
つまり、不等式を証明するだけなら、そのやり方でよいが、上限、下限であることを言うには、
a, b → +0 や a.,b → ∞ を調べて、限界値であることを確認しろってことかな？
613: 2017/08/19(土)17:26 ID:Qk9aUlzH(2/3) AAS
うん
でもその解き方でもa,b->0考えれば最適であることは言えるかもね
614(1): 2017/08/19(土)17:44 ID:Q+nr/ATk(8/9) AAS
>>449
(3)下を、Jensen + AMGM で。
f(x) = 1/(a+a^2) は下に凸だから、
左辺
＝ f(a) + f(b) + f(c)
≧ 3*f( (a+b+c)/3 )
≧ 3*f( (abc)^(1/3) )
＝ 3*f(1)
＝ 3/2
615: 2017/08/19(土)18:43 ID:Qk9aUlzH(3/3) AAS
>>614
f は単調増加じゃないから f( (a+b+c)/3 ) >= 3*f( (abc)^(1/3) ) は成り立たない
むしろ逆の不等号が成り立つ
616: 2017/08/19(土)20:10 ID:Q+nr/ATk(9/9) AAS
たしかに…。うっかりしていました。
617(1): 2017/08/19(土)20:33 ID:C7tE2SmP(1) AAS
不等式を極めるとなんかいいことがある？
618: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/19(土)20:35 ID:LB3Hl+jp(1/10) AAS
￥
619: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/19(土)20:35 ID:LB3Hl+jp(2/10) AAS
￥
620: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/19(土)20:35 ID:LB3Hl+jp(3/10) AAS
￥
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