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不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
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61: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 00:13:50.12 ID:aYclV8OY Ono Inequality http://mathworld.wolfram.com/OnoInequality.html http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/61
62: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 00:58:04.61 ID:oVTfqBd/ >>60 http://ja.wikipedia.org/wiki/ピコーンの等式 >>61 http://ja.wikipedia.org/wiki/オノの不等式 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/62
63: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 01:04:00.92 ID:aYclV8OY >>62 オノの不等式 > 1914年に T.オノはこの式が任意の三角形について成り立つと予想したが、 > 1916年に Balitrand によって予想が誤りであることと、鋭角三角形であればこの式が成り立つことが示された。 T.オノって何者だ？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/63
64: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 01:06:35.77 ID:aYclV8OY Ono Inequality 鋭角三角形の3辺の長さを a, b, c, 面積を S とするとき、 27(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) ≦ (4S)^2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/64
65: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 01:19:17.26 ID:aYclV8OY 不等式スレの第１章より前から集めているコレクションから引っ張り出してきた。 （つい最近まで出典をメモする習慣がなかったことを激しく後悔…） 実数 a,b,c に対して、 (b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) ≦ {(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2 さて、a,b,cを鋭角三角形の3辺の長さとして、この右辺と Ono Inequality の右辺の大小とか定まるかな？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/65
66: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 01:22:59.99 ID:aYclV8OY 任意の三角形の3辺の長さ a,b,c に対して、 (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) ≦ abc (a+b-c)^a*(b+c-a)^b*(c+a-b)^c ≦ a^a*b^b*c^c | ＼ __ ／ ＿ （ｍ） ＿ﾋﾟｺｰﾝ、ｺﾝﾅﾉ ｱｯﾀﾅｧ |ミ| ／ ｀´ ＼ (ﾟ∀ﾟ) ノヽノヽ くく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/66
67: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 03:52:28.15 ID:oVTfqBd/ >>65 a,b,cが鋭角△をなすとき (bb+cc-aa)(cc+aa-bb)(aa+bb-cc) ≦ {(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2 ≦（4S/√3)^3 ≦ (2s/3)^6, S=△ABC、 s=(a+b+c)/2. (左) (bb+cc-aa)(cc+aa-bb）=（cc)^2 -（aa-bb)^2 =［c^2 - (a-b)^2］^2 - 2(aa+bb-cc)(a-b)^2 ≦［c^2 - (a-b)^2］^2 (←鋭角) =［(b+c-a)(c+a-b)］^2, 循環的に掛けて平方根。 (中) 相加-相乗平均より a+b+c ≧ 3｛(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)｝^(1/3), s ≧ 3｛(s-a)(s-b)(s-c)｝^(1/3), S^2 = s(s-a)(s-b)(s-c) (←ヘロンの公式） ≧ 3｛(s-a)(s-b)(s-c)｝^(4/3), ∴｛(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2 ≦ (4S/√3)^3, (右) S^2 = s(s-a)(s-b)(s-c) ≦ 3(s/3)^4, ∴（4S/√3)^3 ≦（2s/3)^6. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/67
68: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 04:08:19.11 ID:oVTfqBd/ >>66 上 a+b-c=2z，b+c-a=2x，c+a-b=2y とおく。(*) x,y,zは任意の正数。 abc - (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) = (y+z)(z+x)(x+y) - 8xyz = x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2 ≧ 0, 等号は x=y=z、つまり a=b=c （正△） * Ravi変換とかいうらしい。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/68
69: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 05:10:22.83 ID:aYclV8OY (1) 正の数 a,b,c に対して、 (a+b+c)^5 ≧ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 +ca^2) (2) ab+bc+ca=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、 a+b+c ≧ abc+1 (3) a+b+c=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、 (a^2 + bc^4)(b^2 + ca^4)(c^2 + ab^4) ≦ 64 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ <〇√ ‖ くく 関係ないが、27って よく出てくるよな。 [第6章.908] a,b,c>0のとき、{(a+b+c)(ab+bc+ca)}^2≧27abc(a^3＋b^3＋c^3) [第5章.560] a,b,cが三角形の三辺の長さのとき、 8/27 ≦ (a+b)(b+c)(c+a)/{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}, [第5章.573] 1/4<(a+b)(b+c)(c+a)/(a+b+c)^3≦8/27 [1991 IMO] [第5章.667] 正の数a、b、c、dに対して 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)^3 ≧ 27(abc + abd + acd + bcd)^2 [第2章.144] a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、a^2b+b^2c+c^2a ≦ 4/27 [1999 CMO] http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/69
70: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 05:12:12.43 ID:aYclV8OY >>69の訂正 (2) ab+bc+ca=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、 a+b+c ≧ abc+2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/70
71: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 07:03:58.21 ID:aYclV8OY (4) 正の数 a,b,c に対して、 {(b+c)/a}^3 + {(c+a)/b}^3 + {(a+b)/c}^3 ≧ 24 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/71
72: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 10:54:34.52 ID:aYclV8OY B.3989 https://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200703&t=mat&l=en a, b, c are positive numbers, such that a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4. Prove that a+b+c<3. A.422、B3987 にも不等式があるね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/72
73: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 17:42:43.45 ID:oVTfqBd/ >>71 (4) (b+c)/a=x, (c+a)/b=y, (a+b)/c=z とおく。 x^3 + y^3 + z^3 = {(x+y+z)^3 +5s(ss-3t) +3(s^3-4st+9u)}/9 ≧ (1/9)(x+y+z)^3, x+y+z = 6＋（a/b+b/a-2)＋(b/c+c/b-2)＋(c/a+a/c-2）≧ 6, >>72 B.3987 中の b+c に注目する。 （a+b+c)(b+c+d）=（b+c)(a+b+c+d）+ ad ≧（b+c){(a+b)＋(c+d)} ≧ 2｛√(a+b)｝（b+c）｛√(c+d)}, 循環的に掛ける。 B.3989 a=2cos(A)，b=2cos(B)，c=2cos(C) とおく。A+B+C=π cos(x）は下に凸だから a+b+c = 2{cos(A)+cos(B)+cos(C)｝≦ 6cos((A+B+C)/3）= 6cos(π/3) = 3, ご参考 http://ameblo.jp/ineqfebot-sol/ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/73
74: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 17:54:31.64 ID:oVTfqBd/ >>73 訂正 B.3989 cos(x）は｜x｜<π/2 で上に凸でした。 (別解) a=2sin(A/2)，b=2sin(B/2)，c=2sin(C/2) とおく。以下同様 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/74
75: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/13(木) 18:37:29.12 ID:oVTfqBd/ >>72 A.422 Σ[i=1,n] x(i) = x(n+1) = S とおく。 Σ[i=1,n] x(i)^2 ≧ SS/n, y=√x は上に凸だから (左辺)^2 ≦ n｛ Σ[i=1,n] x(i) [S -x(i)] } = n｛ SS -Σ[i=1,n] x(i)^2 } ≦ n (SS - SS/n)} = (n-1) SS, (右辺)^2 = SΣ[i=1,n] [S - x(i)] = S (n S - S) = (n-1) SS, http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/75
76: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/14(金) 01:59:14.12 ID:54s0BI7v >>72 A.422 (左辺)^2 ≦ n｛Σ[i=1,n] x(i)[S-x(i)] } ≦｛Σ[i=1,n] x(i)} {Σ[j=1,n] [S-x(j)]} (チェビシェフ) = S・(n-1)S でもいいか... 〔B.3987.改〕 n個の正数｛a,b,c, …,z｝がある。 連続するk項の和を巡回的に掛けたものを Ｐ_k とおく。 Ｐ_1 = abcd…z, Ｐ_2 =（a+b)(b+c)(c+d)……(z+a), Ｐ_3 = (a+b+c)(b+c+d)……(z+a+b), Ｐ_4 = (a+b+c+d)(b+c+d+e)……(z+a+b+c), このとき、 (Ｐ_k)^2 ≧ Ｐ_{k-1}・Ｐ_{k+1}, Ｐ_{mn} ≧ (m^n)Ｐ_n, を示せ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/76
77: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/14(金) 02:41:47.40 ID:5qutPAyo >>72 蒐集癖に火がついたでござる ( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ… 以下、a, b, c は a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 をみたす正の実数とする。←非負実数でいいよね？多分… (1) a+b+c ≧ ab+bc+ca (2) abc+2 ≧ ab+bc+ca ≧ abc (3) a+b+c<3 (4) (2+a)(2+b)(2+c) ≧27abc (5) sqrt{(2-a)/(2+a)} + sqrt{(2-b)/(2+b)} + sqrt{(2-c)/(2+c)} ≧ 3 (5)は、リンク先を見ると sqrt{(2-a)/(2+a)} + sqrt{(2-b)/(2+b)} + sqrt{(2-c)/(2+c)} ≧ 3sqrt{3} ≧ sqrt(4-a^2) + sqrt(4-b^2) + sqrt(4-b^2) と書いている者もいる。証明は未確認。 民明書房刊 「不等式ヲタの異常な蒐集癖、または私は如何にして心配するのを止めて不等式を愛するようになったか」より (1) 出典のmemoがないでござる。過去スレにあるかも… (2) USAMO 2001 https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=2001_USAMO_Problems/Problem_3 (3) >>72 B.3989 https://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200703&t=mat&l=en (4) https://artofproblemsolving.com/community/c6h527320p2994128 (5) https://artofproblemsolving.com/community/c6h527320s1_a2b2c2abc4_two_inequalities_sm http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/77
78: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/14(金) 04:47:25.52 ID:54s0BI7v >>77 (3) はイランMO-2002、A16 かな？ Solution 見ても出典が無い。ほんとに KoMaL 「博士の愛した不等式」慎重文庫（2005） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/78
79: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/14(金) 04:54:42.20 ID:54s0BI7v >>76 〔B.3987.改〕 k≦L のとき、Ｐ_k・Ｐ_L ≦ Ｐ_{k-1}･Ｐ_{L+1} http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/79
80: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/14(金) 10:25:53.58 ID:54s0BI7v >>66 下 a+b-c=z，b+c-a=x，c+a-b=y とおく。(*) x,y,zは任意の正数。 a+b+c = x+y+z, xy = cc-(a-b)^2 ≦ cc, yz = aa-(b-c)^2 ≦ aa, zx = bb-(c-a)^2 ≦ bb, log（左辺）= a log(z）+ b log(x）+ c log(y) = (y/2)log(yz) + (z/2)log(zx) + (x/2)log(xy) ≦ y log(a) + z log(b) + x log(c) ≦ a log(a) + b log(b) + c log(c) （←チェビシェフ） = log（右辺）, http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/80
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