[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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960(1): 2017/09/11(月)16:28 ID:Ls/z+whG(7/11) AAS
>>42
> 〔問題216〕
> 実数a〜dについて
> （aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧（3/4) (ab+bc+cd)^2,
> （aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧（3/4) (ad-bc)^2,

上側
4(a^2 + ac + c^2)(b^2 + bd + d^2) - 3(ab + bc + cd)^2
＝ (ab - bc + cd + 2da)^2
≧ 0

下側は、Wolfram 先生に以下の２通りを処理させても、ずっと 『COMPUTING』 のまま結果を出さない。
省4

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961(1): 2017/09/11(月)16:38 ID:Ls/z+whG(8/11) AAS
手計算で展開してから、Wolfram先生に因数分解してもらった。

4(a^2 + ac + c^2)(b^2 + bd + d^2) - 3(ad - bc)^2
= 4(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2d^2 + d^2a^2 + a^2bd + ab^2c + acd^2 + bc^2d + abcd) - 3(a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2)
= 4a^2b^2 + b^2c^2 + 4c^2d^2 + d^2a^2 + 4a^2bd + 4ab^2c + 4acd^2 + 4bc^2d + 10abcd
= (2ab+ad+bc+2cd)^2
≧0

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962(1): 2017/09/11(月)17:20 ID:IDWqxmZH(1) AAS
>>959
OAを，Oを原点とする座標軸みたいに考えて言ってる

要するに 直線OA＝直線OXであって |OX|=x となるような点Xを取りなさいということ．

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963(1): 2017/09/11(月)17:22 ID:lLjA+cjN(2/3) AAS
>>956
直線OAをx軸とし、OAの向きを正とします。
もちろん、x軸，y軸，z軸は直交しません（斜交軸）

>>960-961

>>47-48 から
(aa+ac+cc)(bb+bd+dd）=（ad-bc)^2 +（ad-bc)(ab+bc+cd）+（ab+bc+cd)^2,
これと
xx+xy+yy ≧（3/4)xx，(3/4)yy
から出ますけど...

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964: 2017/09/11(月)17:52 ID:lLjA+cjN(3/3) AAS
>>952
では図に頼らず代数的に...

LHS^2 - RHS^2 = 2√(xx-xy+yy)√(yy-yz+zz）+（2yy-t)
=｛4(xx-xy+yy)(yy-yz+zz）-（2yy-t)^2｝/｛2√(xx-xy+yy)√(yy-yz+zz）-2yy+ｔ}
= 3DD /｛2√(xx-xy+yy)√(yy-yz+zz）-2yy+ｔ}
≧ 0,
ここに、t = xy+yz+zx,
等号成立条件は D = xy+yz-zx = 0,

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965: 2017/09/11(月)18:32 ID:Ls/z+whG(9/11) AAS
>>962-963
ありがとうございます！ 今から考えてみます。

>>963
じゃあ xx+xy+yy ≧3xy だから、次式も成り立ちますね。
（aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧ 3(ad-bc)(ab+bc+cd)

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966(1): 2017/09/11(月)21:29 ID:Ls/z+whG(10/11) AAS
>>956
たとえば x>0 y<0 のときに、
XY = √(xx-xy+yy) じゃなく
XY = √(xx+xy+yy) になりませんか？

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967: 2017/09/11(月)21:30 ID:Ls/z+whG(11/11) AAS
いやいやいや、>>966は忘れてくだされ。負のときは角度が変わるから、大丈夫なんだね。

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968: 2017/09/12(火)02:14 ID:YsdDbYfo(1/3) AAS
>>389 >>954

⇒ は簡単なんでつが…　>>568

三角形を回して考えるのかな。
p’，r’，t’< v’ ならば ｘ→∞
p’，r’，t’ > v’ ならば ｘ→0
q’，s’，u’< w’ ならば y→∞
q’，s’，u’ > w’ ならば y→0
として反例を探す。

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969(1): 2017/09/12(火)03:54 ID:YsdDbYfo(2/3) AAS
>>947

AM-GM で
（aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）-（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa)
=｛(aabb+c^4)/2 +2ccaa}(a-b)^2 +｛(bbcc+a^4)/2 +2aabb}(b-c)^2 +｛(ccaa+b^4)/2 +2bbcc}(c-a)^2 + 2abc��
≧ 2ccaa(a-b)^2 + 2aabb(b-c)^2 + 2bbcc(c-a)^2 +2abc��
= 2abc{(ca/b)(a-b)^2 +（ab/c)(b-c)^2 +（bc/a)(c-a)^2 + �凩
≧ 0,
ここに、�� =（a-b)(b-c)(c-a),

〔補題〕
-1/2 < �凵^｛(ca/b)(a-b)^2 +（ab/c)(b-c)^2 +（bc/a)(c-a)^2｝≦（7-3√3)/22 = 0.0819930717
省2

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970: 2017/09/12(火)09:02 ID:bjO3mpkI(1) AAS
和積版並べ替え不等式で一発

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971: 2017/09/12(火)14:13 ID:YsdDbYfo(3/3) AAS
>>969

AM-GMで
(aabb+c^4)/2（a-b)^2 +（bbcc+a^4)/2（b-c)^2 +（ccaa+b^4)/2（c-a)^2 + abc��
≧ abc{c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + �凩
= 2(abb+bcc+caa - 3abc)
≧ 0,　　　　　［第４章.626］
を使うと、
（aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）-（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa)
≧ abc{2(ca/b)(a-b)^2 + 2(ab/c)(b-c)^2 + 2(bc/a)(c-a)^2 + �凩,

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972(4): 2017/09/12(火)20:07 ID:bmf0+g5o(1/4) AAS
AA省

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973(1): 2017/09/12(火)20:10 ID:bmf0+g5o(2/4) AAS
【おまけ】 難易度：鼻くそ
a,b,c,d,e>0 に対して、a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 ≧ (a+b+c+d)e

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974(2): 2017/09/12(火)23:02 ID:bmf0+g5o(3/4) AAS
>>972 を改造しようとして、λの最小値を出そうとしたが、挫折したでござる。

a, b, c, d >0 に対して、a + (ab)^(1/2) + (abc)^(1/3) + (abcd)^(1/4) ≦ λ*(a+b+c+d)

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975(1): 2017/09/12(火)23:20 ID:N0+9SYTs(1) AAS
>>972
Tournament of the town
a/12 + b/3 + 4c/3 >= (abc)^(1/2)
a/4 + b >= (ab)^(1/2)

>>973
L - R = (a-e/2)^2 + …

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976(1): 2017/09/12(火)23:30 ID:bmf0+g5o(4/4) AAS
>>972
２文字なら簡単に作れるのでおじゃるが…

a, b >0 に対して、a + (ab)^(1/2) ≦ {(1+√2)/2}*(a+b)

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977(1): 2017/09/13(水)03:07 ID:i1anpb+k(1/18) AAS
AA省

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978: 2017/09/13(水)06:13 ID:HyiuMNX2(1/2) AAS
耳栓をしたら世界が変わってワロタ

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979(4): 2017/09/13(水)07:02 ID:jekxCsX+(1/3) AAS
>>974
　a = a,
　√ab　≦｛1/(2√p)｝（a+pb),
（abc)^(1/3）≦｛1/[3(pq)^(1/3)]｝（a+pb+qc),
（abcd)^(1/4）≦｛1/[4(pqr)^(1/4)]｝（a+pb+qc+rd),
ここに、
p = 3.37617521979458
q = 9.55342152751350
r = 32.2851876698453

辺々たすと
省1

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