[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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964: 2017/09/11(月)17:52 ID:lLjA+cjN(3/3) AAS
>>952
では図に頼らず代数的に...
LHS^2 - RHS^2 = 2√(xx-xy+yy)√(yy-yz+zz）+（2yy-t)
=｛4(xx-xy+yy)(yy-yz+zz）-（2yy-t)^2｝/｛2√(xx-xy+yy)√(yy-yz+zz）-2yy+ｔ}
= 3DD /｛2√(xx-xy+yy)√(yy-yz+zz）-2yy+ｔ}
≧ 0,
ここに、t = xy+yz+zx,
等号成立条件は D = xy+yz-zx = 0,
965: 2017/09/11(月)18:32 ID:Ls/z+whG(9/11) AAS
>>962-963
ありがとうございます！ 今から考えてみます。
>>963
じゃあ xx+xy+yy ≧3xy だから、次式も成り立ちますね。
（aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧ 3(ad-bc)(ab+bc+cd)
966(1): 2017/09/11(月)21:29 ID:Ls/z+whG(10/11) AAS
>>956
たとえば x>0 y<0 のときに、
XY = √(xx-xy+yy) じゃなく
XY = √(xx+xy+yy) になりませんか？
967: 2017/09/11(月)21:30 ID:Ls/z+whG(11/11) AAS
いやいやいや、>>966は忘れてくだされ。負のときは角度が変わるから、大丈夫なんだね。
968: 2017/09/12(火)02:14 ID:YsdDbYfo(1/3) AAS
>>389 >>954
⇒ は簡単なんでつが… >>568
三角形を回して考えるのかな。
p’，r’，t’< v’ ならば ｘ→∞
p’，r’，t’ > v’ ならば ｘ→0
q’，s’，u’< w’ ならば y→∞
q’，s’，u’ > w’ ならば y→0
として反例を探す。
969(1): 2017/09/12(火)03:54 ID:YsdDbYfo(2/3) AAS
>>947
AM-GM で
（aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）-（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa)
=｛(aabb+c^4)/2 +2ccaa}(a-b)^2 +｛(bbcc+a^4)/2 +2aabb}(b-c)^2 +｛(ccaa+b^4)/2 +2bbcc}(c-a)^2 + 2abc⊿
≧ 2ccaa(a-b)^2 + 2aabb(b-c)^2 + 2bbcc(c-a)^2 +2abc⊿
= 2abc{(ca/b)(a-b)^2 +（ab/c)(b-c)^2 +（bc/a)(c-a)^2 + ⊿}
≧ 0,
ここに、⊿ =（a-b)(b-c)(c-a),
〔補題〕
-1/2 < ⊿／｛(ca/b)(a-b)^2 +（ab/c)(b-c)^2 +（bc/a)(c-a)^2｝≦（7-3√3)/22 = 0.0819930717
省2
970: 2017/09/12(火)09:02 ID:bjO3mpkI(1) AAS
和積版並べ替え不等式で一発
971: 2017/09/12(火)14:13 ID:YsdDbYfo(3/3) AAS
>>969
AM-GMで
(aabb+c^4)/2（a-b)^2 +（bbcc+a^4)/2（b-c)^2 +（ccaa+b^4)/2（c-a)^2 + abc⊿
≧ abc{c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + ⊿}
= 2(abb+bcc+caa - 3abc)
≧ 0, ［第４章.626］
を使うと、
（aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）-（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa)
≧ abc{2(ca/b)(a-b)^2 + 2(ab/c)(b-c)^2 + 2(bc/a)(c-a)^2 + ⊿},
972(4): 2017/09/12(火)20:07 ID:bmf0+g5o(1/4) AAS
AA省
973(1): 2017/09/12(火)20:10 ID:bmf0+g5o(2/4) AAS
【おまけ】 難易度：鼻くそ
a,b,c,d,e>0 に対して、a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 ≧ (a+b+c+d)e
974(2): 2017/09/12(火)23:02 ID:bmf0+g5o(3/4) AAS
>>972 を改造しようとして、λの最小値を出そうとしたが、挫折したでござる。
a, b, c, d >0 に対して、a + (ab)^(1/2) + (abc)^(1/3) + (abcd)^(1/4) ≦ λ*(a+b+c+d)
975(1): 2017/09/12(火)23:20 ID:N0+9SYTs(1) AAS
>>972
Tournament of the town
a/12 + b/3 + 4c/3 >= (abc)^(1/2)
a/4 + b >= (ab)^(1/2)
>>973
L - R = (a-e/2)^2 + …
976(1): 2017/09/12(火)23:30 ID:bmf0+g5o(4/4) AAS
>>972
２文字なら簡単に作れるのでおじゃるが…
a, b >0 に対して、a + (ab)^(1/2) ≦ {(1+√2)/2}*(a+b)
977(1): 2017/09/13(水)03:07 ID:i1anpb+k(1/18) AAS
AA省
978: 2017/09/13(水)06:13 ID:HyiuMNX2(1/2) AAS
耳栓をしたら世界が変わってワロタ
979(4): 2017/09/13(水)07:02 ID:jekxCsX+(1/3) AAS
>>974
a = a,
√ab ≦｛1/(2√p)｝（a+pb),
（abc)^(1/3）≦｛1/[3(pq)^(1/3)]｝（a+pb+qc),
（abcd)^(1/4）≦｛1/[4(pqr)^(1/4)]｝（a+pb+qc+rd),
ここに、
p = 3.37617521979458
q = 9.55342152751350
r = 32.2851876698453
辺々たすと
省1
980: 2017/09/13(水)10:07 ID:i1anpb+k(2/18) AAS
>>975
顔文字(ToT)の正体は Tournament of the town なのか…
幾つかの国でやっているようだから、出題年度だけでは見つけるのは大変でござるな。
wiki (Tournament of the town)
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
AoPS
外部ﾘﾝｸ:artofproblemsolving.com
加奈陀
外部ﾘﾝｸ[php]:www.math.toronto.edu
独逸
省6
981(1): 2017/09/13(水)10:15 ID:i1anpb+k(3/18) AAS
>>979
３変数でよかったのか…。次のように６変数でやっていますた。
a = a
√ab = √{(pa)(b/p)} ≦ {(pa)+(b/p)}/2
（abc)^(1/3） = {（qa)(rb)(c/pq))}^(1/3） ≦ {（qa)+(rb)+(c/pq)}/3
（abcd)^(1/4） = {（sa)(tb)(uc)(d/stu)}^(1/4） ≦ {（sa)+(tb)+(uc)+(d/stu)}/4
1 + p/2 + q/3 + s/4 = 1/2p + 3/r + t/4 = 1/3pq + u/4 = 1/4stu
pa = b/p
qa = rb = c/pq
sa = tb = uc = d/stu
982: 2017/09/13(水)10:36 ID:i1anpb+k(4/18) AAS
>>4
埋蔵地のリンクが切れているところが結構あるので修正中。
>>1の過去ログ・まとめサイト、>>2の和書以外は、まとめサイト参照でいいかもね。
983: 2017/09/13(水)10:49 ID:i1anpb+k(5/18) AAS
>>165
[不等式 第7章 241]
> 0<x<y<π/2の時
> (tanx/x)^x+(siny/y)^y<(tany/y)^y+(sinx/x)^x
> を示せ
これも未解決ですな
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