[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)

不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/

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964: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/11(月) 17:52:18.68 ID:lLjA+cjN >>952 では図に頼らず代数的に... LHS^2 - RHS^2 = 2√(xx-xy+yy)√(yy-yz+zz）+（2yy-t) =｛4(xx-xy+yy)(yy-yz+zz）-（2yy-t)^2｝/｛2√(xx-xy+yy)√(yy-yz+zz）-2yy+ｔ} = 3DD /｛2√(xx-xy+yy)√(yy-yz+zz）-2yy+ｔ} ≧ 0, ここに、t = xy+yz+zx, 等号成立条件は D = xy+yz-zx = 0, http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/964

965: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/11(月) 18:32:41.88 ID:Ls/z+whG >>962-963 ありがとうございます！ 今から考えてみます。 >>963 じゃあ xx+xy+yy ≧3xy だから、次式も成り立ちますね。 （aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧ 3(ad-bc)(ab+bc+cd) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/965

966: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/11(月) 21:29:10.93 ID:Ls/z+whG >>956 たとえば x>0, y<0 のときに、 XY = √(xx-xy+yy) じゃなく XY = √(xx+xy+yy) になりませんか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/966

967: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/11(月) 21:30:28.09 ID:Ls/z+whG いやいやいや、>>966は忘れてくだされ。負のときは角度が変わるから、大丈夫なんだね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/967

968: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/12(火) 02:14:22.13 ID:YsdDbYfo >>389 >>954 ⇒ は簡単なんでつが…　>>568 三角形を回して考えるのかな。 p’，r’，t’< v’ ならば ｘ→∞ p’，r’，t’ > v’ ならば ｘ→0 q’，s’，u’< w’ ならば y→∞ q’，s’，u’ > w’ ならば y→0 として反例を探す。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/968

969: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/12(火) 03:54:04.96 ID:YsdDbYfo >>947 AM-GM で （aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）-（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa) =｛(aabb+c^4)/2 +2ccaa}(a-b)^2 +｛(bbcc+a^4)/2 +2aabb}(b-c)^2 +｛(ccaa+b^4)/2 +2bbcc}(c-a)^2 + 2abc�� ≧ 2ccaa(a-b)^2 + 2aabb(b-c)^2 + 2bbcc(c-a)^2 +2abc�� = 2abc{(ca/b)(a-b)^2 +（ab/c)(b-c)^2 +（bc/a)(c-a)^2 + �凩 ≧ 0, ここに、�� =（a-b)(b-c)(c-a), 〔補題〕 -1/2 < �凵^｛(ca/b)(a-b)^2 +（ab/c)(b-c)^2 +（bc/a)(c-a)^2｝≦（7-3√3)/22 = 0.0819930717 左側は（a，b，c）=（a，1，1/a）で a→∞ のとき近づく。 さて、どうやって示すんでしょうね... http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/969

970: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/12(火) 09:02:09.48 ID:bjO3mpkI 和積版並べ替え不等式で一発 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/970

971: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/12(火) 14:13:31.04 ID:YsdDbYfo >>969 AM-GMで (aabb+c^4)/2（a-b)^2 +（bbcc+a^4)/2（b-c)^2 +（ccaa+b^4)/2（c-a)^2 + abc�� ≧ abc{c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + �凩 = 2(abb+bcc+caa - 3abc) ≧ 0,　　　　　［第４章.626］ を使うと、 （aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）-（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa) ≧ abc{2(ca/b)(a-b)^2 + 2(ab/c)(b-c)^2 + 2(bc/a)(c-a)^2 + �凩, http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/971

972: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/12(火) 20:07:31.54 ID:bmf0+g5o 【問題】 (出典 2016 TOT) a, b, c >0 に対して、a + (ab)^(1/2) + (abc)^(1/3) ≦ (4/3)*(a+b+c) TOTって何ぞや？ 　　　　　　　＿＿＿　 彡　　　　 ／　　≧　＼　　　　彡　ﾋﾞｭｩ…… 　　彡　　 |:::　 ＼ .／ |　　彡 　　　　　　|:::: (●　(●|　　　　書店で立ち読み中に 　　　　　　ヽ::::......ワ...ノ　　　　見かけた問題でござる 　　　 　 　 人つゝ 人,,　　　　　　　　　 　　　　　 Ｙノ人　ノ ノノゞ⌒〜ゞ 　　　 　　　 .　 ノ /ミ|＼、　　　 ノノ　（　彡 　　　　 `⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿 　　　　　　　　　　　　 ⌒〜⌒ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/972

973: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/12(火) 20:10:11.31 ID:bmf0+g5o 【おまけ】 難易度：鼻くそ a,b,c,d,e>0 に対して、a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 ≧ (a+b+c+d)e http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/973

974: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/12(火) 23:02:36.39 ID:bmf0+g5o >>972 を改造しようとして、λの最小値を出そうとしたが、挫折したでござる。 a, b, c, d >0 に対して、a + (ab)^(1/2) + (abc)^(1/3) + (abcd)^(1/4) ≦ λ*(a+b+c+d) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/974

975: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/12(火) 23:20:00.20 ID:N0+9SYTs >>972 Tournament of the town a/12 + b/3 + 4c/3 >= (abc)^(1/2) a/4 + b >= (ab)^(1/2) >>973 L - R = (a-e/2)^2 + … http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/975

976: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/12(火) 23:30:54.46 ID:bmf0+g5o >>972 ２文字なら簡単に作れるのでおじゃるが… a, b >0 に対して、a + (ab)^(1/2) ≦ {(1+√2)/2}*(a+b) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/976

977: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/13(水) 03:07:54.73 ID:i1anpb+k [疑問]----------------------------------------------- a, b, c >0 に対して、 M(a,b,c) ≧ (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ m(a,b,c) ----------------------------------------------------- AM-GMで m(a,b,c) = 27(abc)^2 を得るけど、もっとキツく締め上げたいのでござる。 L = a^2b + b^2c + c^2a R = ab^2 + bc^2 + ca^2 (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) = L^2 + LR + R^2 = (s^2)(t^2) - (s^3)u - t^3 　" ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ　;ヾ;ヾ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ 　" ;ヾ ; ;";ヾゝゝ" ;ヾゞ　　　　　　　　　　　ヽ　　　　　　 　　 　 / ,." ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ　;ヾ;ヾ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ 　" ;ヾ ; ;";ヾゝゝ" ;ヾ　; ; ヾ ;ゞ; 　　　　　　　＼　　　　　　　 ／ 　ゞヾ　; ;" ; ; ;; ;"iiiiii;;;;;::::: :)_/ヽ,.ゞ:,,ヾゞヾゞ__;::/　　　　　　　　`　　　　　　`　　　　　　　　` 　 ー ─ '　` 　　　ゞヾゞ;＼＼iiiiii;;;;::::: :|;:/ヾ; ;ゞ "ゝゞ ; ;` 　　`　　　　　 ,|i;iiiiiii;;;;;;::: :| `　　　　`　　　　　　　　　`　　　　　`　　　　　　`　`　　　` 　　　　　　　 ,|iiii;iiii;;;;:;_ _: :|　＿＿＿　　秋の夜長に不等式　　　　`　　　　　　　　`　　　　　　　　`, 　　　`　　　　|iiiiiii;;;;;;((,,,):::|／　　≧　＼ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ヾ从//" 　　　　`　　　|iiiiiiii;;;;ii;;;;;;;;::|::::: (●　(● |　　　　　　　　　　　`　　ﾞ　　`　　　　ヾ'./" 　　　 　　 　 |iiiiii;iii;;;;i;;:: ::::|ヽ::::......ワ...ノ　　　　　　　　　　　　　　　　 ○ 　 　 .||.　　　　　　　, 　　　　`　　　|iii;;iiiii;::;:;;;;::::::| (　つ且 ~　　　　　 ` 　 　 　 　 　　　　 ○○　　 |　| 　　,　,　.,.. ,..M|M|iMii;;ii:i;;i:i;:; ゝ つつ.,.. ,...... ,.... ,,,.,.. ,.... ,,,.,.. ,..,,,,.,...,..,.,|￣￣|,.,..（　 ）.. ,,,..,,.. ,.... ,,,.,...,.. .. ,.... ,,,.,.. ,.... ,,, http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/977

978: １３２人目の素数さん [] 2017/09/13(水) 06:13:10.00 ID:HyiuMNX2 耳栓をしたら世界が変わってワロタ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/978

979: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/13(水) 07:02:09.13 ID:jekxCsX+ >>974 　a = a, 　√ab　≦｛1/(2√p)｝（a+pb), （abc)^(1/3）≦｛1/[3(pq)^(1/3)]｝（a+pb+qc), （abcd)^(1/4）≦｛1/[4(pqr)^(1/4)]｝（a+pb+qc+rd), ここに、 p = 3.37617521979458 q = 9.55342152751350 r = 32.2851876698453 辺々たすと λ = 1.42084438540961 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/979

980: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/13(水) 10:07:15.32 ID:i1anpb+k >>975 顔文字(ToT)の正体は Tournament of the town なのか… 幾つかの国でやっているようだから、出題年度だけでは見つけるのは大変でござるな。 wiki (Tournament of the town) https://en.wikipedia.org/wiki/Tournament_of_the_Towns AoPS https://artofproblemsolving.com/community/c3239_tournament_of_towns 加奈陀 http://www.math.toronto.edu/oz/turgor/archives.php 独逸 http://www.math.uni-hamburg.de/stw/problems.html 仏蘭西 http://www.tournoidesvilles.fr/archives.html 以色列 http://www.taharut.org/ イスラエルは読めぬ…。右寄せになっているが右から左に書くのか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/980

981: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/13(水) 10:15:37.91 ID:i1anpb+k >>979 ３変数でよかったのか…。次のように６変数でやっていますた。 a = a √ab = √{(pa)(b/p)} ≦ {(pa)+(b/p)}/2 （abc)^(1/3） = {（qa)(rb)(c/pq))}^(1/3） ≦ {（qa)+(rb)+(c/pq)}/3 （abcd)^(1/4） = {（sa)(tb)(uc)(d/stu)}^(1/4） ≦ {（sa)+(tb)+(uc)+(d/stu)}/4 1 + p/2 + q/3 + s/4 = 1/2p + 3/r + t/4 = 1/3pq + u/4 = 1/4stu pa = b/p qa = rb = c/pq sa = tb = uc = d/stu http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/981

982: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/13(水) 10:36:59.57 ID:i1anpb+k >>4 埋蔵地のリンクが切れているところが結構あるので修正中。 >>1の過去ログ・まとめサイト、>>2の和書以外は、まとめサイト参照でいいかもね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/982

983: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/13(水) 10:49:00.52 ID:i1anpb+k >>165 [不等式 第7章 241] > 0<x<y<π/2の時 > (tanx/x)^x+(siny/y)^y<(tany/y)^y+(sinx/x)^x > を示せ これも未解決ですな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/983

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