[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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366(1): 2017/08/03(木)02:08 ID:HTpcwzgX(1/5) AAS
>>363
[数蝉2014.07, p.51,NOTE] の前のページで証明されていた不等式が以下。
実数 x, y, z >0 に対して、|(x-y)/(x+y)| + |(y-z)/(y+z)| ≧ |(x-z)/(x+z)| …(★)
これをRavi変換 （a=y+z、b=z+x、c=x+y）すると、次の不等式になる。
三角形の辺長a,b,cに対して、ab|a-b| + bc|b-c| ≧ ca|c-a|…(★★)
これを a, c に関する対称性から a≦c として、bの位置を３通りに分けて証明。
正弦定理と２倍角の定理で書き直すと、次のようになって不等式が得られるみたい。
ab|a-b| = 32R^3 (sin A/2)*(sin A/2)*(sin A/2)*(cos A/2)*(cos B/2)*|sin (A-B)/2|
この不等式をNOTEに投稿した人のコメントに、(★)の元ネタが考古学の本とある。
「新井宏、理系から見た考古学の論争点、大和書房、2007」
省5
367(1): 2017/08/03(木)02:24 ID:HTpcwzgX(2/5) AAS
>>365
> （a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均
ﾑﾑﾑ、ｽｺﾞｽｷﾞﾙ…。
> 循環的にたすと n S_(n+1) ≧（n+1)S_n - S_1,
これから (S_n)/n は単調減少も出るでござるな。
これを差の形にして、nを 1,2,…,n-1として和を取り、右辺を部分分数分解して計算したら、
(S_n)/n ≧ s_1/n
となって、何も得られなかったでござる…。
368: 2017/08/03(木)04:10 ID:HTpcwzgX(3/5) AAS
>>367
すまん、「これから (S_n)/n は単調減少も出るでござるな。」は勘違いですた。
371(1): 2017/08/03(木)15:54 ID:HTpcwzgX(4/5) AAS
コレクションの中に、以下を発見。年度不明の学習院大ってmemoがあるが…。
三角形の３辺の長さ a, b, c に対して、a^2b(a-b) +b^2c(b-c) + c^2a(c-a) ≧0.
374(1): 2017/08/03(木)20:03 ID:HTpcwzgX(5/5) AAS
>>373
> * (a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均だが、
> それで（1）が明らかなワケではない。
巡回的に加えて、(n-1)*S_(n+1) + S_1 ≧ n*S_n
この左辺に、証明済みの S_(n+1) ≧ S_1 を使って終わりじゃないの？
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