[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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713(3): 2017/08/28(月)03:43 ID:Xt3/xWpv(1/5) AAS
(1) a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^5 ≧ 81abc(a^2+b^2+c^2)
(2) a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^6 ≧ 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2

AOPS：外部ﾘﾝｸ:artofproblemsolving.com

[疑問１]
(1)の証明について、

(a+b+c)^3 - 3(a+b)(b+c)(c+a) = s^3 - 3(st-u) = s(s^2-3t) + 3u >0
∴ (a+b+c)^3 > 3(a+b)(b+c)(c+a) ---(A)

>>687 〔補題196〕 の右側
(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(a^2+b^2+c^2) ---(B)
省12

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714(1): 2017/08/28(月)06:21 ID:Xt3/xWpv(2/5) AAS
>>689
Q = (c+a)(c+a-b)^2 + 2(a+b+c)(c-a)^2 ですよね？

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715(1): 2017/08/28(月)06:30 ID:Xt3/xWpv(3/5) AAS
>>688-689
> (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(aa+bb+cc)
>
> bはa、cの間にあるとする。
> (左辺)-(右辺）
> = P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b)
> = P(a-b)^2 +（P-Q+R)(a-b)(b-c）+ R(b-c)^2,
>
> P =（b+c)(b+c-a)^2 + 2(a+b+c)(b-c)^2 ≧ 0,
> P-Q+R = 2b{(a+c)^2 -6ac＋3bb｝= 2b{(a+c-3m)^2＋3(bb-mm)｝≧ 0,
省5

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716: 2017/08/28(月)06:52 ID:Xt3/xWpv(4/5) AAS
AA省

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719(1): 2017/08/28(月)22:03 ID:Xt3/xWpv(5/5) AAS
>>718
なんと！ 因数分解できるとは…

(a+b+c)^6 - 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2
= (a^2 + b^2 + c^2 + 8ab + 8bc + 8ca)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)^2

UVW-method って、これのことですか？
外部ﾘﾝｸ:brilliant.org

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