[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)

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713: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/28(月) 03:43:27.12 ID:Xt3/xWpv (1) a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^5 ≧ 81abc(a^2+b^2+c^2) (2) a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^6 ≧ 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2 AOPS：https://artofproblemsolving.com/community/c6h1282022p6753168 [疑問１] (1)の証明について、 (a+b+c)^3 - 3(a+b)(b+c)(c+a) = s^3 - 3(st-u) = s(s^2-3t) + 3u >0 ∴ (a+b+c)^3 > 3(a+b)(b+c)(c+a) ---(A) >>687 〔補題196〕 の右側 (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(a^2+b^2+c^2) ---(B) (A),(B)から、 (a+b+c)^3 *(a+b+c)^2 > 3(a+b)(b+c)(c+a)*(a+b+c)^2 ≧ 3*24abc(a^2+b^2+c^2) 等号が成り立たなくなるが、実際は例えば、a=b=c のときに等号が成り立つ。 このやり方は、何か間違っているのかな？ A≧B を証明するときに、途中に式を挟んで A≧C、C≧B を証明することがあるけど、 A=C かつ C=B から出した等号成立条件が、A=Bの等号成立条件と一致しないことがあるのは仕方のないことなのかな？ （具体例がすぐには出てこないけど、絶対値の入った不等式の証明とかで、なったことがある） [疑問２] (2)の証明が分かりませぬ…。 (1)を次のように証明して、そのコメントに、「コーラを飲んだらゲップが出るくらい明らか（嘘訳）」 と書いてあるけど、ピンときませぬ…。 (a+b+c)^6 ≧ 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2 ≧ 81abc(a^2+b^2+c^2) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/713

714: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/28(月) 06:21:36.55 ID:Xt3/xWpv >>689 Q = (c+a)(c+a-b)^2 + 2(a+b+c)(c-a)^2 ですよね？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/714

715: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/28(月) 06:30:48.05 ID:Xt3/xWpv >>688-689 > (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(aa+bb+cc) > > bはa、cの間にあるとする。 > (左辺)-(右辺） > = P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b) > = P(a-b)^2 +（P-Q+R)(a-b)(b-c）+ R(b-c)^2, > > P =（b+c)(b+c-a)^2 + 2(a+b+c)(b-c)^2 ≧ 0, > P-Q+R = 2b{(a+c)^2 -6ac＋3bb｝= 2b{(a+c-3m)^2＋3(bb-mm)｝≧ 0, > R =（a+b)(a+b-c)^2 + 2(a+b+c)(a-b)^2 ≧0, > ここに、m = min{a,c｝、ac=m(a+c-m) Q = (c+a)(c+a-b)^2 + 2(a+b+c)(c-a)^2 として、P-Q+R を計算したら、 P-Q+R = 2b{(a+c)^2 -6ac＋3bb｝ + 8(c+a){(c-a)^2 + ca} となったけど、計算合っているか確認おねがいしますだ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/715

716: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/28(月) 06:52:45.91 ID:Xt3/xWpv >>715 ごめん。私の計算違いでした。 　　　　　　　ﾍ）)∧ 　　　　　　（ﾟ ∀ﾟ　） 　　　　　ノ || ｙ　/ ヽ 切腹しまつ 　　━(m二フ⊂[__ノ､ 　　　　　（＿（＿＿ノ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/716

719: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/28(月) 22:03:31.85 ID:Xt3/xWpv >>718 なんと！ 因数分解できるとは… (a+b+c)^6 - 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2 = (a^2 + b^2 + c^2 + 8ab + 8bc + 8ca)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)^2 UVW-method って、これのことですか？ https://brilliant.org/wiki/the-uvw-method/ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/719

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