[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)

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449: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/09(水) 17:01:42.00 ID:A2I5YGTu a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、 (1) [memoには 2004 JMO とあるが、全然違っていた…] 　c/(1+a) + b/(1+b) + a/(1+c) ≧ 3/2 (2) [memoには 1998 Ukraina とあるが、もう自信がない] 　(1+ab)/(1+a) + (1+bc)/(1+b) + (1+ca)/(1+c) ≧ 3 (3) [疑問] 　1/(1+a) + 1/(1+b) + 1/(1+c) ≧？ 　bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧？ (4) [1998 IMO shortlist.A3] 　a^3/{(1+b)(1+c)} + b^3/{(1+c)(1+a)} + c^3/{(1+a)(1+b)} ≧ 3/4 ----------------------------------------------------- TeXで編集する際に、問題順を入れ替えたりしているうちに、 問題番号と出典番号がずれて、もはや修正のしようがない。 確認したくても、リンク先が消えているし。 https://mks.mff.cuni.cz/kalva/index2.html |　 |　　　　　　　　　　　　　 |　‖　　　　　 　　　　　ﾉﾉﾉﾉ　-＿_ || ‖ 　　　　 　　　　　(ﾟ∈ﾟ　)　　─_＿___　___ |∧ 从ﾉ　　　　　 (ミ_　(⌒＼ヽ　_　__＿ （ (≡￣￣￣￣三＼⌒ノ　ノ ) |(つWつ ￣￣＼ 　⌒彡) 　 ﾉ　　＝＿ | ＼つ　つ　　　　＼,_＿_,ノノ |　 |　 )　　　　　　　　/　／　≡＝ |　 |　　　　　　　　　 / ノ　　　　　　__________ |　 |　　　　　　　　 /ノ　＿─ (´⌒(´ |　 |　　　　　　　ﾐ/＝　(´⌒(´⌒;; |　''''""'''"'''"""''"""'''''"'"''''""''"''''"""''"'''""''"''"'''"''（） |　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/449

452: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/09(水) 17:49:46.39 ID:A2I5YGTu >>449 に付け足し。 a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、 (4) [出典不明、元問題は"３乗和≧２乗和"を一般化した] 　自然数nに対して、a^n + b^n + c^n ≧ a^(n-1) + b^(n-1) + c^(n-1) (5) [出典不明] 　b/a + c/b + a/b ≧ a+b+c ≧ √a + √b + √c 　b/a + c/b + a/b ≧ 1/a + 1/b + 1/c ≧ √a + √b + √c (6) [2016 東北大] 　a^2 + b^2 + c^2 ≧ 1/a + 1/b + 1/c (7) [疑問] 　a^n + b^n + c^n ≧ b/a + c/b + a/b をみたす最小の n∈N はあるかな？ (8) [参考までに、これも出典のmemoがなくて困るが…] 　a^3 + b^3 + c^3 + (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3 ≧ b/a + c/b + a/b -------------------------------------------------------------- 同じ条件の不等式を整理していると、この問題と あの問題は繋がるのでは？ などと気になりはじめると、整理どころではなくなる。そうして未整理の不等式が貯まっていく。 (5)の2つの不等式の中辺の大小は定まらない。（過去スレでやったような希ガス…） abc=1 に注意して、(a+b+c)-(ab+bc+ca) = (a-1)(b-1)(c-1) a, b, cと1の大小で、正にも、０にも、負にもなる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/452

455: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/09(水) 18:51:30.33 ID:sOQtPSi2 >>449 (1), (2) a=y/x … とおくだけ (3) Σ1/(1+a) = 1 + (a+b+c+1)/(ab+bc+ca+a+b+c+1) -> 1 (c=1/(ab), a->inf, b->inf) Σbc/(1+a) = Σ1/(a+a^2) >= Σ(-3/4log(a)+1/2) = 3/4 (4) 相加相乗で終わり http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/455

456: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/09(水) 19:19:25.80 ID:vWdGLnQX >>388 (2) 　(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2 Asia-Pacific MO-2004改 文献 [9] 佐藤(訳)、問題3.85改 （左辺）=（abc)^2 + 2(ab)^2 +2(bc)^2 +2(ca)^2 +4(aa+bb+cc) +8 　=（abc)^2 +2(ab-1)^2 +2(bc-1)^2 +2(ca-1)^2 +3(a+b+c)^2 -2(ab+bc+ca) +2 　=｛(abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca)｝+2(ab-1)^2 +2(bc-1)^2 +2(ca-1)^2 +3(a+b+c)^2 　≧ 3(a+b+c)^2, ※　(abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca）≧ 0 　は >>388 (3）または練習問題1.90(i）を使う。 >>449 (4) 文献 [9] 佐藤(訳)、演習問題 1.120 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/456

486: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/10(木) 02:58:19.02 ID:DPXWgKrx >>449 (4) チェビシェフにより （左辺）≧ a/{(1+b)(1+c)｝+ b/{(1+c)(1+a)｝+ c/{(1+a)(1+b)｝ 　=｛a(1+a）+ b(1+b）+ c(1+c)}/{(1+a)(1+b)(1+c)} 　≧(s+t)/(1+s+t+u), 　≧ 3/4, ∵題意より　u=abc=1 ゆえ s+t≧3{u^(1/3)+u^(2/3)｝= 6, http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/486

583: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/14(月) 03:30:28.48 ID:DhVyRLdl >>449 >>455 (2) （1+ab)/(1+a）= (1+c)/{c(1+a)}，etc. 　AM-GM する。 >>455 とほとんど同じだ.... (3) 　1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c) 　≧ 1/(1+a+ab）+ 1/(1+b+bc）+ 1/(1+c+ca） 　= x/(x+y+z）+ y/(y+z+x）+ z/(z+x+y) 　= 1, 　bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧ 3/2, 通分して 　bc(1+b)(1+c）+ ca(1+c)(1+a）+ ab(1+a)(1+b）-（3/2)(1+a)(1+b)(1+c) 　= t +（st-3u）+（tt-2su）-（3/2)(1+s+t+u) 　=｛(s-3)t + s(t-3)}/6 +（2s+3)(u-1)/2 + 2(st-9u)/3 +（tt-3su) 　=｛(s-3)t + s(t-3)}/6 +（2s+3)(u-1)/2 　≧0,　　　　（← s≧3、t≧3、u=1） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/583

586: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/14(月) 21:52:11.78 ID:DhVyRLdl >>449 (3)下 チェビシェフで (左辺）= 1/{a(1+a)｝+ 1/{b(1+b)｝+ 1/{c(1+c)｝ 　　　≧ 1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝ よって、次の問題に帰着する。 〔問題3.93〕 　1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝≧ 3/(1+abc), 　バルカンMO-2006 　文献［9］ 佐藤(訳)、問題3.93 左辺に 1+abc を掛ける。 　(1+abc)/{a(1+b)｝= (1+a)/{a(1+b)｝-1 + b(1+c)/(1+b)，etc. 巡回的に AM-GM すると （1+abc)(左辺）≧ 3(1/G -1 +G) 　= 3(1-G+GG)/G 　= 3(1+GGG)/{G(1+G)}． ∴　(左辺）≧ 3/{G(1+G)}, ここに G=(abc)^(1/3) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/586

599: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/18(金) 17:50:32.42 ID:WHydeLcz >>449、>>583、>>586 > a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧ 3/2 >>586 > 　1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝≧ 3/(1+abc), > > 　バルカンMO-2006、文献［9］ 佐藤(訳)、問題3.93 似たような不等式を見つけた。 [IMO 1995 第2問] http://www.cs.cornell.edu/~asdas/imo/imo/imo95.html 1/(a^3*(b+c)) + 1/(b^3*(c+a)) + 1/(c^3*(a+b)) ≧ 3/2. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/599

600: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/18(金) 18:07:26.70 ID:WHydeLcz >>449、>>455、>>583 a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、3 > 1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c) > 1 上限を厳しく評価するには、どういう考え方でやればいいんでせうか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/600

614: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/19(土) 17:44:45.38 ID:Q+nr/ATk >>449 (3)下を、Jensen + AMGM で。 f(x) = 1/(a+a^2) は下に凸だから、 左辺 ＝ f(a) + f(b) + f(c) ≧ 3*f( (a+b+c)/3 ) ≧ 3*f( (abc)^(1/3) ) ＝ 3*f(1) ＝ 3/2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/614

665: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/20(日) 22:50:23.44 ID:mA3fdDEU >>609 〔Schur 不等式の拡張〕 P,Q,R≧0 かつ（P,Q,R）（a,b,c）が同順または逆順ならば 　P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b）≧ 0. (略証) bはa，cの中間にあるとしてよい。 　(a-b)(b-c）≧ 0 題意より、P,Q,R≧0 かつ QはP，Rの中間にあるから、 　P-Q+R ≧0 これらより、 　P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b） = P(a-b)^2 +（P-Q+R)(a-b)(b-c）+ R(b-c)^2 ≧ 0,　（終） いろいろな拡張があり、まとめて Vornicu−Schur 不等式と云うらしい。 詳しくは、ニコニコ大百科の「シューアの不等式」の項を参照 >>640 (1) >>449(1）と同じでつ。 (2）同次式ゆえ、定数でつ。 >>654 それなら、>>652 は >>628 と同じでつね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/665

708: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/27(日) 16:26:59.89 ID:NetfQ0ow >>388 (5) >>450 〔Hlawkaの不等式〕を拡張… r≧1 のとき 　K(r){|a|^r +｜b|^r +｜c|^r +｜a+b+c|^r｝≧｜a+b|^r +｜b+c|^r +｜c+a|^r, ここに K(r）は 　1≦r≦2 のとき、K(r）=（2^r)/{1+3^(r-1)}, 　2≦r のとき、K(r）= 2^(r-2), 　kurims 講究録-1136-11 p.90-95 (2000) Theorem 2 >>449 (2) 　佐藤(訳)：文献[9]、演習問題1.43、問題3.67 　(1+ab)(1+a）= ab(1+c)/(1+a), など。 　AM-GMする。 >>453 　佐藤(訳)：文献[9]、演習問題1.61 　x^3 +x^3 +y^3 ≧ 3xxy,　(AM-GM）より 　x^3 +y^3 +z^3 ≧ xxy + yyz + zzx, 　(x,y,z）=（a,b,c）と（x,y,z）=（ab,bc,ca）をたす。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/708

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