[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)

不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/

上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割 ﾚｽ栞
抽出解除 ﾚｽ栞

---

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

---

467: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/09(水) 22:45:59.22 ID:A2I5YGTu 不等式が少しだけ載っているというタレコミがあったので、事情徴収（立ち読み）してきた。 容疑者 ： 佐久間一浩、『高校数学と大学数学の接点』、PP.18-30 (1) PP.18-24 三角形の辺長を a, b, c、面積をSとするとき、a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S. (2) PP.25-30 R ≧ 2r （球殻不等式） (1)に対して、８通りの証明を与えていた。 (2)は d^2 = R^2 - 2Rr （茶ップル-オイラーの定理）を証明して片付けていた。 ここで d は外心と内心の距離。 　　　∧,,∧　　　　 　 　(`･ω･´)　８通りの証明だと？ 詳しく聞こうか？ 　　 （　　　 ） ￣￣Φ口U￣￣＼ 　　　_　_. 　 　 　 　＼ ＿（　　　 ） ← 佐久間＼ ￣┏┳┓） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/467

468: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/09(水) 22:47:06.98 ID:A2I5YGTu >>467 > 三角形の辺長を a, b, c、面積をSとするとき、a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S. （証明１） ヘロンの公式を使って a, b, c だけの式にして、(左辺)^2 - (右辺)^2 （証明２） 面積公式と余弦定理を使って a, b, c だけの式にして、(左辺)^2 - (右辺)^2 （証明３） b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおいて、AM-GM とヘロンの公式。 （証明４） a^2 + b^2 + c^2 ≧ ab+bc+ca の右辺に正弦定理を用いてから、凸不等式。 （証明５） a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S + (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} を証明。 （証明６） a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S + (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 を証明。 （証明７） 証明６の不等式を三角関数で証明。 （証明８） 座標平面上に、頂点を A(a/2,0)、B(-a/2,0)、C(s,t)、t>0 とおいて計算。 --------------------------------------------------------------------- [1] そもそもヘロンの公式は、面積公式と余弦定理から三角関数を消去して得られるものだから、 　 証明１と証明２は全く同じものである。証明６と証明７も一緒。つまり６通りの証明ですな。 [2] この不等式には、オノとかフランダースとか、なんか名前はついていないのかな？ [3] 他に証明は無いのかな。証明３と実質同じだが、Ravi変換くらいしか思いつかない。 ヘロンの公式を行列式で表すと、S = (√D)/4。ここでDは以下の行列式。 |0 1 　 1 　 1 | |1 0　a^2 b^2| |1 a^2 0　c^2| |1 b^2 c^2 0 | http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/468

473: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/10(木) 02:37:02.72 ID:DPXWgKrx >>467 (2) 　△の3辺を切る円はその内接円より大きい、を認めよう。 　△の各辺の中点を通る円を考える。 　この円は半径R/2であるが、△の3辺を切る。 　R/2 ≧ r 　（清水多門氏による） 文献[3]、p.7-8 例題4 >>2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/473

511: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/10(木) 20:36:16.33 ID:ZcMNVdrv >>467-468 > 三角形の辺長を a, b, c、面積をSとするとき、a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S. > > [2] この不等式には、オノとかフランダースとか、なんか名前はついていないのかな？ Weitzenbock's inequality と言うらしい。ヴァイツェンベックと発音するのかな？ https://en.wikipedia.org/wiki/Weitzenb%C3%B6ck%27s_inequality http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/511

539: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/11(金) 12:57:10.89 ID:OXujv9yn >>467 (1）を改造... 三角形の辺長を a,b,c、面積をSとするとき、(1/3)(a+b+c)^2 ≧ (4√3)S. (証明３) b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおく。 (1/3)(a+b+c)^2 =（1/3)(A+B+C)^2 ≧ √{3(A+B+C)ABC}　（← AM-GM) =（4√3)S, 三角形の辺長を a,b,c、面積をSとするとき、ab+bc+ca ≧ (4√3)S. (証明６) b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおく。 ab+bc+ca = aa+bb+cc -{(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2 ≧ aa+bb+cc -(a-b)^2 -(b-c)^2 -(c-a)^2 = AB+BC+CA ≧ √{3(A+B+C)ABC} =（4√3)S, http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/539

542: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/11(金) 16:46:26.28 ID:XzY0B0Bq >>467、>>539 さらに改造。というか、コレクションに纏め済みでござった。 三角形の辺長 a, b, c、面積 S、外接円の半径 R、内接円の半径 r に対して、 9R^2 ≧ a^2 + b^2 + c^2 ≧ (1/3)(a+b+c)^2 ≧ ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3) ≧ (4√3)S ≧ 36r. 　　　　　�凵@　　　　○　　　∇　、＿＿＿,､´｀ﾞ；~､　　';冫　☆ 　　　　　　　　　　　┏　 ━ゝヽ''／　　≧　＼━〆Ａ!ﾟ━━┓。 　╋┓"〓┃　 ＜　ゝ＼',冫｡'　|:::: 　＼ .／　|゛△│´'´,.ゝ'┃.　　　　　 ●┃ ┃┃ 　┃┃_.━┛ヤ━━━━━━|::::: (●　(● |━━━━━━━━━　　━┛ ・　・ 　　　　　　　　∇ 　┠─Σ-　　ヽ::::... .ワ.....ノ　　冫　そ',´; ┨'ﾟ,。 　　 　 　 　 　 .。冫▽　＜　　 ⊂ 　 　　./⊃　　　　 乙　　≧　　　▽ 　　　　　　　　　。　┃　　 Σ　　 （⌒ゞ　,l,　､'' 　│ 　 て　く 　　　　　　　　　　　┠─ム┼ 　　ゝ,,ﾉ　ﾉゝ.　､,,　.┼ ｧ　Ζ┨　ミｏ''｀ 　　　　　　　　　。､ﾟ`。､　　　i／　　　レ' o。了　､''　×　 个ｏ 　　　　　　　　○　 ┃ 　　`､,~´＋√ ▽　 　',!ヽ.◇　 　　ｏ┃ 　　　　　　　　　 　 ┗〆━┷　Ｚ,.'　/┷━''ｏ ヾｏ┷+＼━┛,゛； 　　　　　　 ヾ　　　�凵@　　　　　　　　　　　　　　'、´　　　　∇ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/542

543: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/11(金) 17:08:13.18 ID:XzY0B0Bq >>467 >>539 >>542 さらに行けそうだぜ！ ヒャッハー！ http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200519index.html 9abc/(a+b+c) ≧ (4√3)S が成り立つらしい （証明は未だ読んでいない） AM-GMから直ちに >>542 とドッキングさせられるぜ！ ヒャッハー！ 9R^2 ≧ a^2 + b^2 + c^2 ≧ (1/3)(a+b+c)^2 ≧ ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3) ≧ 9abc/(a+b+c)≧ (4√3)S ≧ 36r. 　　　　　＿　 （）)二) )) 、,r:ﾆヽ　　いいぞ　ベイべー！ 　@ニ＝＝＝)二二ニニ)('A` ))　 不等式を収集し証明する奴は 不等式ヲタだ！！ 　　　　　^￣" ﾌ＼''|ﾉ=ﾉ-(　　)　　 不等式を改造し拡張する奴は よく訓練された不等式ヲタだ！！ 　 　 　　　　　_/　　＼_ 　　L L　　 ホント不等式はﾊｧﾊｧするぜ！ ﾌｩﾊﾊﾊｰﾊｧｰ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/543

554: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/11(金) 18:20:48.72 ID:OXujv9yn >>467 (1）>>539 を再改造… >>541 (2) (aa-ab+bb)/(aa+ab+bb）≧ 1/3，など。 (左辺）≧ 2(a+b+c)/3 ≧ 2(abc)^(2/3）= 2, (3) ab +a^5 +b^5 = aabbc +a^5 +b^5 ≧ aabb(a+b+c）= ab(a+b+c)/c, IMO-1996 予選 文献[9］佐藤、演習問題1.15 >>543 abc =（A+B)(B+C)(C+A)/8 ≧（A+B+C)(AB+BC+CA)/9, ∴ ab+bc+ca ≧ 9abc/(a+b+c）≧ AB+BC+CA >>539 により成立。 きりがないでござるよ… http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/554

579: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/12(土) 03:30:21.66 ID:hiSFFC3j 不等式ではなくって、等式なんだけど、 >>467の本 ： 佐久間一浩、『高校数学と大学数学の接点』 を立ち読みしてきたときに見つけた問題を。 Σ[n=1 to ∞] (15n^2 - 30πn^4 + 8π^2 n^6)*e^(-πn^2) = ？ あと、名前の付いた等式を一つ。（只の式変形で出るので面白くはないが…） ヒルツェブルフの等式 ： x/ tanh x = 2x/(e^(2x)-1) + x http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/579

---

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

---

ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

---

Google検索

Wikipedia

---

ぬこの手 ぬこTOP 1.440s*