[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)

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599: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/18(金) 17:50:32.42 ID:WHydeLcz >>449、>>583、>>586 > a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧ 3/2 >>586 > 　1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝≧ 3/(1+abc), > > 　バルカンMO-2006、文献［9］ 佐藤(訳)、問題3.93 似たような不等式を見つけた。 [IMO 1995 第2問] http://www.cs.cornell.edu/~asdas/imo/imo/imo95.html 1/(a^3*(b+c)) + 1/(b^3*(c+a)) + 1/(c^3*(a+b)) ≧ 3/2. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/599

602: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/19(土) 03:06:30.81 ID:HQ7H9Ohy >>599 x=1/a、ｙ=1/b、z=1/c とおくと、xyz=1 S = xx/(y+z）+ yy/(z+x）+ zz/(x+y) ≧ (x+y+z)^2 /{(y+z)+(z+x)+(x+y)｝　　(←コーシー) =（x+y+z)/2 ≧3/2, 　文献[9] 佐藤(訳）例1.4.9 >>600 　a,b,… のうち最小のものをmとおきます。（m≦1) 　1より大きい2要素 p,q があったときは 　(p, q）→（m, pq/m）と置き換えてみます。 　このとき相乗平均は変わらず、 　（m + pq/m）-（p+q）= (p-m)(q-m)/m ≧ 0 ゆえ左辺は 　1/(1+m）+ 1/(1+pq/m）- 1/(1+p）- 1/(1+q） 　= (2+m+pq/m)/{(1+m)(1+pq/m)｝-（2+p+q)/{(1+p)(1+q)｝ 　=（2+m+pq/m)/{1+(m+pq/m)+pq｝-（2+p+q)/{1+(p+q)+pq｝ 　= -(pq-1)/{1+(m+pq/m)+pq｝+（pq-1)/{1+(p+q)+pq｝ 　≧0 増大します。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/602

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