[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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449(11): 2017/08/09(水)17:01 ID:A2I5YGTu(4/10) AAS
AA省
452(2): 2017/08/09(水)17:49 ID:A2I5YGTu(6/10) AAS
>>449 に付け足し。
a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、
(4) [出典不明、元問題は"３乗和≧２乗和"を一般化した]
自然数nに対して、a^n + b^n + c^n ≧ a^(n-1) + b^(n-1) + c^(n-1)
(5) [出典不明]
b/a + c/b + a/b ≧ a+b+c ≧ √a + √b + √c
b/a + c/b + a/b ≧ 1/a + 1/b + 1/c ≧ √a + √b + √c
(6) [2016 東北大]
a^2 + b^2 + c^2 ≧ 1/a + 1/b + 1/c
省10
455(2): 2017/08/09(水)18:51 ID:sOQtPSi2(1) AAS
>>449
(1), (2) a=y/x … とおくだけ
(3)
Σ1/(1+a) = 1 + (a+b+c+1)/(ab+bc+ca+a+b+c+1) -> 1 (c=1/(ab), a->inf, b->inf)
Σbc/(1+a) = Σ1/(a+a^2) >= Σ(-3/4log(a)+1/2) = 3/4
(4) 相加相乗で終わり
456(2): 2017/08/09(水)19:19 ID:vWdGLnQX(4/4) AAS
>>388 (2)
(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2
Asia-Pacific MO-2004改
文献 [9] 佐藤(訳)、問題3.85改
（左辺）=（abc)^2 + 2(ab)^2 +2(bc)^2 +2(ca)^2 +4(aa+bb+cc) +8
=（abc)^2 +2(ab-1)^2 +2(bc-1)^2 +2(ca-1)^2 +3(a+b+c)^2 -2(ab+bc+ca) +2
=｛(abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca)｝+2(ab-1)^2 +2(bc-1)^2 +2(ca-1)^2 +3(a+b+c)^2
≧ 3(a+b+c)^2,
※ (abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca）≧ 0
は >>388 (3）または練習問題1.90(i）を使う。
省2
486: 2017/08/10(木)02:58 ID:DPXWgKrx(3/4) AAS
>>449 (4)
チェビシェフにより
（左辺）≧ a/{(1+b)(1+c)｝+ b/{(1+c)(1+a)｝+ c/{(1+a)(1+b)｝
=｛a(1+a）+ b(1+b）+ c(1+c)}/{(1+a)(1+b)(1+c)}
≧(s+t)/(1+s+t+u),
≧ 3/4,
∵題意より u=abc=1 ゆえ s+t≧3{u^(1/3)+u^(2/3)｝= 6,
583(4): 2017/08/14(月)03:30 ID:DhVyRLdl(1/2) AAS
>>449 >>455
(2)
（1+ab)/(1+a）= (1+c)/{c(1+a)}，etc.
AM-GM する。
>>455 とほとんど同じだ....
(3)
1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c)
≧ 1/(1+a+ab）+ 1/(1+b+bc）+ 1/(1+c+ca）
= x/(x+y+z）+ y/(y+z+x）+ z/(z+x+y)
= 1,
省7
586(1): 2017/08/14(月)21:52 ID:DhVyRLdl(2/2) AAS
>>449
(3)下
チェビシェフで
(左辺）= 1/{a(1+a)｝+ 1/{b(1+b)｝+ 1/{c(1+c)｝
≧ 1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝
よって、次の問題に帰着する。
〔問題3.93〕
1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝≧ 3/(1+abc),
バルカンMO-2006
文献［9］ 佐藤(訳)、問題3.93
省8
599(1): 2017/08/18(金)17:50 ID:WHydeLcz(3/4) AAS
>>449、>>583、>>586
> a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧ 3/2
>>586
> 1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝≧ 3/(1+abc),
>
> バルカンMO-2006、文献［9］ 佐藤(訳)、問題3.93
似たような不等式を見つけた。
[IMO 1995 第2問] 外部ﾘﾝｸ[html]:www.cs.cornell.edu
1/(a^3*(b+c)) + 1/(b^3*(c+a)) + 1/(c^3*(a+b)) ≧ 3/2.
600(3): 2017/08/18(金)18:07 ID:WHydeLcz(4/4) AAS
>>449、>>455、>>583
a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、3 > 1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c) > 1
上限を厳しく評価するには、どういう考え方でやればいいんでせうか？
614(1): 2017/08/19(土)17:44 ID:Q+nr/ATk(8/9) AAS
>>449
(3)下を、Jensen + AMGM で。
f(x) = 1/(a+a^2) は下に凸だから、
左辺
＝ f(a) + f(b) + f(c)
≧ 3*f( (a+b+c)/3 )
≧ 3*f( (abc)^(1/3) )
＝ 3*f(1)
＝ 3/2
665(1): 2017/08/20(日)22:50 ID:mA3fdDEU(1/2) AAS
>>609
〔Schur 不等式の拡張〕
P,Q,R≧0 かつ（P,Q,R）（a,b,c）が同順または逆順ならば
P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b）≧ 0.
(略証)
bはa，cの中間にあるとしてよい。
(a-b)(b-c）≧ 0
題意より、P,Q,R≧0 かつ QはP，Rの中間にあるから、
P-Q+R ≧0
これらより、
省10
708(2): 2017/08/27(日)16:26 ID:NetfQ0ow(7/8) AAS
>>388 (5) >>450
〔Hlawkaの不等式〕を拡張…
r≧1 のとき
K(r){|a|^r +｜b|^r +｜c|^r +｜a+b+c|^r｝≧｜a+b|^r +｜b+c|^r +｜c+a|^r,
ここに K(r）は
1≦r≦2 のとき、K(r）=（2^r)/{1+3^(r-1)},
2≦r のとき、K(r）= 2^(r-2),
kurims 講究録-1136-11 p.90-95 (2000) Theorem 2
>>449 (2)
佐藤(訳)：文献[9]、演習問題1.43、問題3.67
省7
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ぬこの手 ぬこTOP 0.032s