[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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628(4): 2017/08/19(土)22:28 ID:HQ7H9Ohy(3/3) AAS
>>597 >>598

a,b,c が△の辺長の場合は Ravi変換で簡単でござるよ。 >>594
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C, a+b+c=A+B+C.

HM = 3abc/(ab+bc+ca)
=（3/2)(A+B)(B+C)(C+A)/{(A+B+C)^2 +（AB+BC+CA)｝
≧（4/3)(A+B+C)(AB+BC+CA)/{(4/3)(A+B+C)^2}
=（AB+BC+CA)/(A+B+C)
≧（4√3)S/(a+b+c)
=（2√3)r,

したがって a,b,c>0 で成立するかがミソのようでござる… >>608

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639: 2017/08/20(日)11:39 ID:XEX21MRP(1/6) AAS
>>628
かたじけない。その証明が難しいので、もう少し時間を。

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652(3): 2017/08/20(日)18:47 ID:XEX21MRP(4/6) AAS
>>628
ようやく理解。ところでRavi変換は (b+c-a)/2 = x、… なのでは？

基本対称式を使って、力任せに証明してみた。
a, b, c の基本対称式を s, t, u とおくと、
HM^2 - (2√3*r)^2 = 3{3s(st-u)^2 - 4u(s^2+t)^2}/{s(s^2+t)^2}
分子 = u(s^2t+3su-4t^2) + s^2(st^2-4s^2u+3tu) + 2s^2t(st-9u) ≧0

週末が始まったと思ったら、もう終わっていたでござる… ('A`)

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665(1): 2017/08/20(日)22:50 ID:mA3fdDEU(1/2) AAS
>>609
〔Schur 不等式の拡張〕
P,Q,R≧0 かつ（P,Q,R）（a,b,c）が同順または逆順ならば
　P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b）≧ 0.

(略証)
bはa，cの中間にあるとしてよい。
　(a-b)(b-c）≧ 0
題意より、P,Q,R≧0 かつ QはP，Rの中間にあるから、
　P-Q+R ≧0
これらより、
省10

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668: 2017/08/21(月)09:09 ID:QiJqP8rB(1/3) AAS
>>628

a,b,c が△の辺長でない場合も簡単でござるよ。

A+B=2c≧0，B+C=2a≧0，C+A=2b≧0,
∴ A,B,Cのうち負となるのは１つだけ。
∴ HM^2 ≧ 0 ≧ 3ABC/(A+B+C),

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