[過去ﾛｸﾞ] ０は自然数か？ [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
482(3): 2017/12/04(月)19:43 ID:1tdLd2Kk(4/8) AAS
>>481
このガイジは自分の殻に閉じこもって完全逃亡してしまったようだが、
こちらから一方的に、ガイジにも理解できるような解説を書いてみる。
これも理解できないようなら、お前はいよいよガイジである。
ゼロの定義：ゼロとは、アーベル群の単位元のことを言う。
より一般的には、ゼロとは、可換な単位的半群の単位元のことを言う。
「単位元」とは、ある種の数学的構造の中で ある種の役割をする元に与えられる「あだ名」であるから、
ゼロ及び単位元という言葉は、実際には「称号」や「役職名」もしくは「役割の名前」である。
従って、ある集合 A のある元 a が「ゼロである」とは、厳密に言えば
「 a はゼロの役割をする 」
省3
483(4): 2017/12/04(月)19:46 ID:1tdLd2Kk(5/8) AAS
ペアノシステムの定義：Xは集合とする。s∈Xとする。f：X→Xは単射とする。
s∈X−f(X)が成り立つとする。さらに
∀A⊂X [ [s∈A ∧ f(A)⊂A] ⇒ A＝X ]
が成り立つとする。このとき、三つ組み (X,s,f) のことをペアノシステムと呼ぶ。
また、写像 f のことを、ペアノシステム (X,s,f) における後者関数と呼ぶ。
ペアノシステムにおける基本的な二項演算：(X,s,f)はペアノシステムとする。
このとき、X上の二項演算αであって、次を満たすものが構成できる。
・ 任意の x∈X に対して、x α s ＝ f(x) が成り立つ。
・ 任意の x,y∈X に対して、x α f(y) ＝ f(x α y) が成り立つ。
省3
484(4): 2017/12/04(月)19:49 ID:1tdLd2Kk(6/8) AAS
上記のαとβはともに、ペアノシステム(X,s,f)の中での通常の「足し算の演算」であると解釈できる。
注意すべきは、X の中に予め「加法」が存在している必要は無いということである。
ペアノシステム(X,s,f)がありさえすれば、そのシステムから上記の演算α,βが構成できるのである。
また、αとβは、結合法則と交換法則を満たすことが証明できる。すなわち、(X,α)と(X,β)は、
ともに可換な半群となる。さらに、(X,β)は可換な単位的半群であり、単位元は s である。
また、(X,α) には単位元は存在しない。従って、
・ s は (X,β) の中でゼロの役割をする。
・ s は (X,α) の中でゼロの役割をしない。
言い換えれば、同じ s という元が、演算の取り方によってゼロの役割をしたり、しなかったりする。
すなわち、ペアノの公理系で宣言される s は、ペアノの公理系だけでは、
省2
485(2): 2017/12/04(月)19:54 ID:1tdLd2Kk(7/8) AAS
X上の演算として「β」を使う場合、s は (X,β) の中でゼロの役割をするのだから、
「 X の中に 0 が存在しているように見える」。また、X上の演算として「α」を使う場合、
s は (X,α) の中でゼロの役割をしないのだから、「 X の中に 0 が存在しないように見える」。
これらのことから、X上の演算として「β」を使うことを予め決めている場合、
s のことを最初から「 0 」という記号で表記することが多い。また、X上の演算として
「α」を使うことを予め決めている場合、s のことを最初から「 1 」という記号で表記することが多い
(αのときに「 1 」という記号を使うのは、αの更なる性質が起因しているのだが、ここでは深入りしない)。
s のことを予め 0 と書いた場合、ペアノシステムは (X, 0, f) と書かれるのだから、
「 X に 0 を含めているように見える」。また、 s のことを予め 1 と書いた場合、
ペアノシステムは (X, 1, f) と書かれるのだから、「 X に 0 を含めて無いように見える」。
省6
486(2): 2017/12/04(月)19:59 ID:1tdLd2Kk(8/8) AAS
つまり、
「自然数に 0 を含めるか否かは流儀の違いに過ぎない」
という文章は、
「ペアノシステム (X, s, f) が与えられたとき、何かしらの特別な 0 という元を
X の中に放り込んだり抜き取ったりするのは、流儀の違いに過ぎない」
という意味なのでは無くて、
省4
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
あと 516 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.009s