Interｰuniversal geometryとABC予想(応用スレ)51

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526: １３２人目の素数さん [] 2021/02/14(日) 23:16:51 ID:auGHfbsR

>>499
なるほど
・”１つ穴あきトーラス上の閉曲線に対しても図４で示されるように適当な被覆に持ち上げて，４つ穴あき球面の場合に帰着させてツイストパラメータを定義する．”
・”１点穴あきトーラスは１つのパンツに分解される．”
「４つ穴あき球面」、「１点穴あきトーラスは１つのパンツ」なのか

https://math.cs.kitami-it.ac.jp/~kabaya/index_ja.html
蒲谷祐一
https://math.cs.kitami-it.ac.jp/~kabaya/talk_ja.html
2012年9月1日?4日
リーマン面に関連する位相幾何学 東京大学
https://math.cs.kitami-it.ac.jp/~kabaya/slides/2012/riem_surf.pdf
Parametrization of PSL(2, C)-representations of surface groups
蒲谷祐一（Kabaya Yuichi）大阪大学理学研究科数学専攻 学振特別研究員 PD，
1 序
S を種数 g ? 2 の閉曲面とする．S 上の標識付き双曲構造全体のなす空間は Teichm¨uller 空間と呼ばれる．
Fenchel-Nielsen 座標によりこの空間は 6g ?6 次元の Euclid 空間と同相になる事がわかる．一方，S の標識
付き双曲構造は基本群 π1(S) の Isom+(H2) への離散忠実表現の共役類と同一視できる．ここで Isom+(H2)
は双曲平面 H2 の向きを保つ等長変換群である．この群は PSL(2, R) と同相であるので，Teichm¨uller 空間
は PSL(2, R) 表現のなす空間を共役の作用で割ったもの Hom(π1(S),PSL(2, R))/conj. の部分集合とみなせる．
この空間の複素化として Hom(π1(S),PSL(2, C))/conj. を考える事ができる．PSL(2, C) は３次元双曲空
間の向きを保つ等長変換とみなせるので，π1(S) の離散忠実表現は S × (?1, 1) 上に双曲構造を与える．特
に Hom(π1(S),PSL(2, C))/conj. は quasi-Fuchsian 表現を開集合として含む．Fenchel-Nielsen 座標の複素
化として quasi-Fuchsian 表現の Fenchel-Nielsen 座標が Kourouniotis [Kou] と Tan [Tan] により定義され
ている．
本稿では，quasi-Fuchsian 表現を含むより広いクラスの PSL(2, C) 表現に対して Fenchel-Nielsen 座標を
拡張した結果 [Kab] について報告する．

2 Fenchel-Nielsen 座標
Sのパンツ分解とする．つまり ci は S 上の単純閉曲線で S \ C が３つ穴あき球面からなるとする（図１
左）．S 上に双曲計量が与えられると，ci にホモトピックな測地線の長さ li を定義する事ができる．よっ
て li は Teichm¨uller 空間上の関数を与える．

6 Twist parameter
次に４つ穴あき球面 S の基本群の表現を考える．S を S = P ∪P′ と２つのパンツに分解する．

１つ穴あきトーラス上の閉曲線に対しても図４で示されるように適当な被覆に持ち上げて，４つ穴あき
球面の場合に帰着させてツイストパラメータを定義する．

8 例：１点穴あきトーラスの場合
ここでは１点穴あきトーラスの基本群の表現を例にとって説明する．１点穴あきトーラスは１つのパン
ツに分解される．双対有向グラフ G，極大ツリー T，固有値パラメータ e1, e2, とツイストパラメータ t1 を
図６の左の様に定める．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/526

528: １３２人目の素数さん [] 2021/02/14(日) 23:43:35 ID:auGHfbsR

>>525
永井保成語録：（下記）
・筆者にとって、数学の現象、数学の風景というものは、
　いかにして証明するかという知識や技巧の問題とは
　ある程度独立に存在しているようにも思える。
・数学の理解においては、何が起こっているのかということと、
　いかにして証明しうるかということが車の両輪になっており、
　その絶妙なバランスの上に数学は成り立っている。
・いかにしてそのバランスを体得すればよいのだろうか。
　おそらくは、それは「数学の経験」によってのみ身につけることが
　できるものである。たくさん読み、たくさん考え、たくさんの例を計算する。
　それだけが数学をよりよく理解する方途ではないだろうか。

梅村 楕円関数論を読んで、証明を追うのが精一杯。定理の写経で終わった初学者がいた
「数学の理解」に至ろうという意識が希薄な、某数学科修士卒の落ちこぼれ おじさんがいた
「たくさん読み」が、決定的に不足している。だから 某修士で落ちこぼれさんだと思うよ

https://www.morikita.co.jp/books/book/3421
森北出版
代数幾何学入門
代数学の基礎を出発点として
早稲田大学教授博（数理科学）永井保成(著)（2005年東京大学数理科学研究科博士課程修了）

「代数幾何学という分野の存在を知り，その入口に立っている学部学生が，基礎的なトレーニングの傍ら，代数幾何学の面白さを知り，なぜさまざまの代数学的なテクニックが必要とされるのかを知るための「レパートリーブック」のようなものとして，著者は本書を企図したといえば伝わるだろうか．つまり，代数幾何学の分野ではどんな問題に興味がもたれ，どのような方法でそれらが解決されているのかについて，技術的な習熟を仮定せずになるべく「生きた」話題を提供しようと試みている．」（「はじめに」より）

P303　あとがきにかえて

数学は定理の証明ということなしには前に進んでいかないが、
筆者にとって、数学の現象、数学の風景というものは、
いかにして証明するかという知識や技巧の問題とは
ある程度独立に存在しているようにも思える。

数学の理解においては、何が起こっているのかということと、
いかにして証明しうるかということが車の両輪になっており、
その絶妙なバランスの上に数学は成り立っている。

それでは、いかにしてそのバランスを体得すればよいのだろうか。
おそらくは、それは「数学の経験」によってのみ身につけることが
できるものである。たくさん読み、たくさん考え、たくさんの例を計算する。
それだけが数学をよりよく理解する方途ではないだろうか。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/528

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