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Interｰuniversal geometryとABC予想(応用スレ)51 (1002ﾚｽ)
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166
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complete idiot ◆OHIXyLapqc
2021/01/31(日)23:00
ID:YrlWgLkf(15/16)
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166: complete idiot ◆OHIXyLapqc [] 2021/01/31(日) 23:00:44 ID:YrlWgLkf 補題 Aを極大元をもたない半順序集合とすれば AからAへの写像φで、Aの全ての元ｘに対して φ(x)>xとなるものが存在する 証明 Aの全ての空でない集合からなる集合系をMとする 選択公理によって、Mで定義された写像Φで、 Mの全ての元mに対し Φ(m)=ｍとなるものが存在する 今、Aは極大元を持たないと仮定されているから、 Aの元ｘに対して{y|y∈A,y>x}=m_xとおけば どのxに対してもm_x≠{} すなわちm_x∈M そこで、Aの任意の元xに対し φ(x)=Φ(m_x)として AからAへの写像φを定義すれば、 φ(x)∈m_xであるからφ(x)>xとなる 上記の補題は、ツォルンの補題の証明に用いられる つまり、半順序集合Aの任意の空でない全順序部分集合が Aの中に上限を持つとして、φをAからAの写像で、 Aの全ての元ｘに対してφ(x)>=xとなるとするとき φ(a)=aとなるものが存在するが、 （この証明は長いが、選択公理は使わない） その場合、上記の補題から対偶により、Aが極大元を持つといえる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/166
補題 を極大元をもたない半順序集合とすれば からへの写像での全ての元に対して となるものが存在する 証明 の全ての空でない集合からなる集合系をとする 選択公理によってで定義された写像で の全ての元に対し となるものが存在する 今は極大元を持たないと仮定されているから の元に対してとおけば どのに対しても すなわち そこでの任意の元に対し として からへの写像を定義すれば であるからとなる 上記の補題はツォルンの補題の証明に用いられる つまり半順序集合の任意の空でない全順序部分集合が の中に上限を持つとしてをからの写像で の全ての元に対してとなるとするとき となるものが存在するが この証明は長いが選択公理は使わない その場合上記の補題から対偶によりが極大元を持つといえる
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