Interｰuniversal geometryとABC予想(応用スレ)51

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406: 2021/02/13(土)12:53 ID:4eb0VVkt(6/19) AAS
>>400
そもそも応援の動機が間違ってるんだよね
日本自慢したいとか数学と無関係だからね

日本自慢したいなら縄文人生活でもすればいいんですよ
「これが脱成長時代の人類の最先端生活だ！」ってね
ちなみに縄文人のY染色体HGはD1a2aと言われてます
日本列島以外では、朝鮮半島南部で数％見られるだけで、
他の地域ではまず見られません
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org

407(1): 2021/02/13(土)15:14 ID:wXktx3pj(8/18) AAS
>>393
・a+b=c を使って、楕円曲線を作ると、スピロ予想が出る
・楕円曲線にピンホールを開けると、
・オイラー標数がχ(Σg,n) = 2 - 2g - n < 0 となって、
・伊原先生などによれば、双曲構造が入る
・そこから、タイヒミュラーが出る。遠アーベルもかな？

408: 2021/02/13(土)15:25 ID:4eb0VVkt(7/19) AAS
>>407
もう諦めなって

一意化定理も知らん人に、楕円曲線もタイヒミュラーも無理だって
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org

409(1): 2021/02/13(土)15:33 ID:4eb0VVkt(8/19) AAS
>>403
トポロジーといえばやっぱ４次元だねぇ

異種 R^4

エキゾチック R^4 はユークリッド空間 R^4 と同相であるが、
微分同相ではない可微分多様体を言う。

最初の例は、1980年代始めにマイケル・フリードマンにより、
位相4次元多様体についてのフリードマンの定理と
滑らかな4次元多様体についてのサイモン・ドナルドソンの定理を
対比することで発見された。

R^4 の微分同相ではない可微分構造が非可算個存在する。
省7

410: 2021/02/13(土)15:35 ID:4eb0VVkt(9/19) AAS
>>409
4次元でのその他の特別な現象

多くとも次元が 3 の低次元における方法により証明することのでき、
少なくとも次元 5 以上の完全に高い次元の方法により証明できる
多様体の基本定理がいくつかあるが、次元 4 でのみ、成立しない定理がある。
これらの例をいくつか挙げる。

411: 2021/02/13(土)15:37 ID:4eb0VVkt(10/19) AAS
1. 次元 4 よりも大きな次元で、カービー・ジーベンマン不変量はPL構造の存在への障害を与える。
言い換えると、コンパクトな位相多様体は PL構造を持つことと、
H~4(M,Z/2Z) の中のカービー・ジーベンマン不変量が 0 となることとは同値である。
次元 3 やそれ以下の次元では、すべての位相多様体は、本質的に一意な PL構造を持つ。
次元 4 では、カービー・ジーベンマン不変量は 0 であるが PL構造を持たない多くの例がある。

412: 2021/02/13(土)15:38 ID:4eb0VVkt(11/19) AAS
2. 4 以外の次元では、コンパクトな位相多様体は
有限個の異なる PL構造や滑らかな構造しかもたない。
4次元では、コンパクトな多様体は
可算個の無限個の微分同相でない滑らかな構造を
持つことができる。

413: 2021/02/13(土)15:39 ID:4eb0VVkt(12/19) AAS
3. 次元 4 は、R^n が異種可微分構造を持つことのできる唯一の次元である。
R^4 は非可算個の異種可微分構造をもつ。

414(1): 2021/02/13(土)15:40 ID:4eb0VVkt(13/19) AAS
4. 滑らかなポアンカレ予想の解は、4 以外の次元ではすべて知られている
（少なくとも次元 7 では正しくない）。
PL多様体は 4 を除くすべての次元で証明されているが、
4次元では正しいか否か分かっていない
（4次元での滑らかなポアンカレ予想と同値である）。

415: 2021/02/13(土)15:42 ID:4eb0VVkt(14/19) AAS
5. 滑らかな h-コボルディズム定理（英語版）は、
同境(cobordant)（コボルダント）でもなく境界が 4次元でもない場合には、
コボルディズムは保存される。
コボルディズムの境界が次元 4 であると、この結果は成立しない
（ドナルドソンにより示された）。
コボルディズムが次元 4 であるとき、
h-コボルディズム定理が成立するかどうかは未解決である。

416: 2021/02/13(土)15:43 ID:4eb0VVkt(15/19) AAS
6. 4次元以外の次元の位相多様体は、ハンドル体分解を持つ。
次元 4 の多様体がハンドル分解を持つことと、
滑らかな多様体であることとは同値である。

417: 2021/02/13(土)15:44 ID:4eb0VVkt(16/19) AAS
7. すべての単体複体に同相でない 4次元位相多様体が存在する。
少なくとも次元 5 では、単体複体と同相でない位相多様体の存在は、未解決問題である。

418(2): 2021/02/13(土)18:17 ID:wXktx3pj(9/18) AAS
>>375 より
>エタール基本群 Etale fundamental group
>(参考)
>外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
>Etale fundamental group

(引用開始)
（原文）
Formal definition
Let X be a connected and locally noetherian scheme, let x be a geometric point of X, and let C be the category of pairs (Y,f) such that f： Y→ X is a finite etale morphism from a scheme Y. Morphisms (Y,f)→ (Y',f') in this category are morphisms Y→ Y' as schemes over X. This category has a natural functor to the category of sets, namely the functor
F(Y)= Hom _X(x,Y);
省10

419(2): 2021/02/13(土)18:18 ID:wXktx3pj(10/18) AAS
>>418
つづき

（原文）
Examples and theorems
The most basic example of a fundamental group is π1(Spec k), the fundamental group of a field k. Essentially by definition, the fundamental group of k can be shown to be isomorphic to the absolute Galois group Gal (ksep / k). More precisely, the choice of a geometric point of Spec (k) is equivalent to giving a separably closed extension field K, and the fundamental group with respect to that base point identifies with the Galois group Gal (K / k). This interpretation of the Galois group is known as Grothendieck's Galois theory.

More generally, for any geometrically connected variety X over a field k (i.e., X is such that Xsep := X ×k ksep is connected) there is an exact sequence of profinite groups

1 → π1(Xsep, x) → π1(X, x) → Gal(ksep / k) → 1.

（DeepL訳の手直し）
例と定理
基本群の最も基本的な例は、体kの基本群であるπ1(Spec k)です。定義の本質は、kの基本群は絶対ガロア群Gal(ksep / k)に同型であることが示されます。より正確には、Spec(k)の幾何学的な点の選択は、分離的で閉拡大体Kを与えることと等価であり、その基点に関する基本群は、Gal(K / k)のGalois群と同型である。このガロア群の解釈は、グロテンディエックのガロア理論として知られている。
省5

420: 2021/02/13(土)18:21 ID:4eb0VVkt(17/19) AAS
>>419
正規部分群　理解した？ｗ

421: 2021/02/13(土)18:25 ID:4eb0VVkt(18/19) AAS
>>418
エタール束　理解した？
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org

「局所同相写像 E → X は X 上のエタール束とよばれる。」

422: 2021/02/13(土)18:28 ID:4eb0VVkt(19/19) AAS
証明どころか定義も読まずに憶測する人には数学は無理

日本自慢がしたいなら、縄文人自慢でもしときなよ
縄文人、日本独自だからｗ

423(1): 2021/02/13(土)18:34 ID:wXktx3pj(11/18) AAS
（>>377より再録）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
遠アーベル幾何学

遠アーベル幾何学（えんアーベルきかがく、Anabelian geometry）は数学の理論であり、代数多様体 V 上の代数的基本群（英語版）(algebraic fundamental group) G や関連する幾何学的対象を記述する。
曲線上のグロタンディークの予想の定式化
「遠アーベル的問題」とは次のように定式化される。
「　多様体 X の同型類についてのどのくらいの情報が、エタール基本群（英語版）(etale fundamental group)の知識には含まれているのであろうか？[2] 」
具体例は、多様体が射影的と同様にアフィン的な場合である。有限生成な体 K （その上の素体）上に定義された滑らかで既約な場合を想定し、与えられた双曲線 C に対し、つまり、種数 g の射影代数曲線内の n 個の点の補空間に対し、
2 - 2g - n < 0
とする。グロタンディークは、射有限群である C の代数的基本群 G が C 自身を決定する（つまり G の同型類が C の同型類を決定する）と予想した。このことは望月新一により証明された[3] g = 0（射影直線）で n = 4 の場合の例が与えられ、このとき、C の同型類が K の中の削除される 4つの点の連比により決定される。（ほとんど、連比で 4つの点の順序であるが、点を取り去ると存在しない。）[4] K が局所体の場合の結果もある[5]。
省13

424(2): 2021/02/13(土)19:25 ID:wXktx3pj(12/18) AAS
>>423
補足
”Etale fundamental group”で、下記の場合分け大事だね

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Etale fundamental group

Examples and theorems

Schemes over a field of characteristic zero（標数0）
For a scheme X that is of finite type over C, the complex numbers, there is a close relation between the etale fundamental group of X and the usual, topological, fundamental group of X(C), the complex analytic space attached to X. The algebraic fundamental group, as it is typically called in this case, is the profinite completion of π1(X). This is a consequence of the Riemann existence theorem, which says that all finite etale coverings of X(C) stem from ones of X. In particular, as the fundamental group of smooth curves over C (i.e., open Riemann surfaces) is well understood; this determines the algebraic fundamental group. More generally, the fundamental group of a proper scheme over any algebraically closed field of characteristic zero is known, because an extension of algebraically closed fields induces isomorphic fundamental groups.

Schemes over a field of positive characteristic and the tame fundamental group（標数正で”tame”）
For an algebraically closed field k of positive characteristic, the results are different, since Artin?Schreier coverings exist in this situation. For example, the fundamental group of the affine line {\displaystyle \mathbf {A} _{k}^{1}}{\mathbf A}_{k}^{1} is not topologically finitely generated. The tame fundamental group of some scheme U is a quotient of the usual fundamental group of U which takes into account only covers that are tamely ramified along D, where X is some compactification and D is the complement of U in X.[3][4] For example, the tame fundamental group of the affine line is zero.
省1

425(1): 2021/02/13(土)19:26 ID:wXktx3pj(13/18) AAS
>>424
つづき

Affine schemes over a field of characteristic p （標数ｐで”Affine schemes”）
It turns out that every affine scheme {\displaystyle X\subset \mathbf {A} _{k}^{n}}{\displaystyle X\subset \mathbf {A} _{k}^{n}} is a {\displaystyle K(\pi ,1)}K(\pi ,1)-space, in the sense that the etale homotopy type of {\displaystyle X}X is entirely determined by its etale homotopy group.[5] Note {\displaystyle \pi =\pi _{1}^{et}(X,{\overline {x}})}{\displaystyle \pi =\pi _{1}^{et}(X,{\overline {x}})} where {\displaystyle {\overline {x}}}{\overline {x}} is a geometric point.

Further topics（”From a category-theoretic point of view”）
From a category-theoretic point of view, the fundamental group is a functor
{Pointed algebraic varieties} → {Profinite groups}.
The inverse Galois problem asks what groups can arise as fundamental groups (or Galois groups of field extensions). Anabelian geometry, for example Grothendieck's section conjecture, seeks to identify classes of varieties which are determined by their fundamental groups.[6]
Friedlander (1982) studies higher etale homotopy groups by means of the etale homotopy type of a scheme.
(引用終り)
省1

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