Interｰuniversal geometryとABC予想(応用スレ)51

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429: １３２人目の素数さん [] 2021/02/13(土) 23:14:04 ID:wXktx3pj

エタール基本群つながり、再録
(>>323 再録)
https://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~wakate/mcyr/2019/pdf/00900_sarashina_akira.pdf
1 点抜き楕円曲線の同型類の幾何的基本群による復元
京都大学大学院 数学・数理解析専攻 数理解析系 更科明
概要
1980 年代、Grothendieck により素体の有限次拡大体上の双曲的曲線の幾何が (ある意味
で)´etale 基本群から復元されるという予想が提唱された。この予想は中村博昭氏、玉川安騎男氏
の部分的な結果を経て望月新一氏によって肯定的に解決された。本稿では正標数代数閉体上の曲
線に対しても ´etale 基本群が多くの情報を持つ事、また特別な場合に元の曲線の同型類が復元できる事を紹介する。

(>>333 再録)
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/50/2/50_2_200/_article/-char/ja/
J-STAGEトップ/数学/50巻(1998)2号/書誌
代数曲線の基本群に関するGrothendieck予想の解決
中村博昭,玉川安騎男,望月新一氏の研究に寄せて
伊原康隆
＜PDF＞
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/50/2/50_2_200/_pdf/-char/ja
　今回解決されたGrothendieck予想は,「代数体k上定義された滑らかな双曲型代数曲線Xは
X=XO　kの代数的(エタール)基本群π1(X)へのkの絶対ガロア群Ga1(k/k)の外作用によっ
て一意的に定まる」というものです。ここにXが双曲型とは,その種数をg,穴の個数をnとす
るとき2gー2+n > 0が満されることです.三人の方々は,それぞれ相異なる手法によってこの問
題の解決に向け独自の貢献をされました.しかし共通な点は,Grothendieckが「遠アーベル」と
呼んで超困難視したこの問題が,`実はπ1(X)の各開部分群のアーベル化に今まで発展してきた
「アーベル的な数学」を組織的に適用することによって解けてしまうことを(それぞれの方法で)実
証した点にある,と思います。中村氏が最初にこれを見抜いて種数0(従ってn:≧3)の場合を証明
し,玉川氏が有限体上の曲線の類体論(アーベル被覆の理論)を組織的に用いて一般のn>0の場
合をあざやかに証明して周囲を驚かせ,最後に望月氏がp進体上でも一般に成立することをp進
Hodge理論を(中村,玉川氏と同様に組織的に)用いて見事に証明しました.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/429

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