[過去ﾛｸﾞ] 数学の証明という理論がわからないです (245ﾚｽ)
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214: 2021/02/19(金)00:13 ID:LaiOc/Pq(10/18) AAS
Xを弧状連結な空間とする。
Xが単連結であるとは、基本群π_1(X)が自明であること。
215: 2021/02/19(金)00:14 ID:LaiOc/Pq(11/18) AAS
基本群を定義します
216: 2021/02/19(金)01:42 ID:LaiOc/Pq(12/18) AAS
X, Yは位相空間、f, g: X → Yは連続写像とします。
fとgがホモトピックであるとは、連続写像
H: X × [0, 1] → Y
が存在して、
H(x, 0) = f(x)
H(x, 1) = g(x)
を満たすことです。
217: 2021/02/19(金)01:43 ID:LaiOc/Pq(13/18) AAS
fとgがホモトピックであるという関係は、同値関係です。
218: 2021/02/19(金)01:44 ID:LaiOc/Pq(14/18) AAS
(1) f 〜 f
H(x, t) = f(x)
とすればよい
219: 2021/02/19(金)01:46 ID:LaiOc/Pq(15/18) AAS
(2) f 〜 g ⇒ g 〜 f
H(x, t) を f 〜 gをimplyする写像とします。
H(x, 1 - t)も連続なので、g 〜 fです。
220: 2021/02/19(金)01:52 ID:LaiOc/Pq(16/18) AAS
(3) f 〜 g, g 〜 h ⇒ f 〜 h
H_1(x, t), H_2(x, t)をそれぞれ、f 〜 g, g 〜 hに対応する連続写像とします。
H(x, t) :=
H_1(x, 2t)（0≦t≦1/2）,
H_2(x, 2t - 1)（1/2≦t≦1）
は連続なので、f 〜 gです。
221: 2021/02/19(金)01:54 ID:LaiOc/Pq(17/18) AAS
× は連続なので、f 〜 gです。
○ は連続なので、f 〜 hです。
222: 2021/02/19(金)01:56 ID:LaiOc/Pq(18/18) AAS
X, Yは位相空間とします。
連続写像f: X → Y, g: Y → Xで、
g○f 〜 id_X
f○g 〜 id_Y
をみたすものが存在するとき、XとYはホモトピックであるといいます。
223: 2021/02/19(金)10:37 ID:EgO2j4ec(1) AAS
空間がホモトピックであることも同値関係です。
224: 2021/02/19(金)10:43 ID:esT7cyjY(1) AAS
オイラーの等式って本当にマイナス１になるんですか？
225: 2021/02/19(金)11:22 ID:2p3Qy8/s(1/4) AAS
(1) X 〜 X
f = g = id_Xと取ればよい
226: 2021/02/19(金)11:22 ID:2p3Qy8/s(2/4) AAS
(2) X 〜 Y ⇒ Y 〜 X
明らか
227: 2021/02/19(金)11:23 ID:2p3Qy8/s(3/4) AAS
(3) X 〜 Y, Y 〜 Z ⇒ X 〜 Z
合成すればいい
228: 2021/02/19(金)11:28 ID:2p3Qy8/s(4/4) AAS
f1: X → Y
g1: Y → X
f2: Y → Z
g2: Z → Y
が、
g1 f1 〜 id_X、f1 g1 〜 id_Y
g2 f2 〜id_Y、f1 g2 〜id_Z
となるとする。
省5
229: 2021/02/19(金)12:17 ID:Td9BKjC7(1) AAS
こう
g1 (g2 f2) f1
〜 g1 id_Y f1
〜 g1 f1
〜 id_X
と簡約できる
230: 2021/02/19(金)15:03 ID:VHVRSD3Y(1/3) AAS
以下、I = [0, 1]とします。
231: 2021/02/19(金)15:03 ID:VHVRSD3Y(2/3) AAS
Xを位相空間とします。
Xのpathとは、連続写像
p: I → X
のことです。
232: 2021/02/19(金)15:06 ID:VHVRSD3Y(3/3) AAS
pの像ではなく、写像pのことです。
たとえば、X = R^2として、
p_1(x) = (cos(2πx), sin(2πx))
p_2(x) = (cos(4πx), sin(4πx))
は区別します。
233(1): 2021/02/19(金)15:36 ID:EFNDtRaT(1/3) AAS
X: 位相空間
Xの2つのpath p, qに対して、その積
q p: I → X
を以下のようにして定めます。
(q p)(t) :=
省2
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