[過去ﾛｸﾞ] フェルマーの最終定理の簡単な証明11 (369ﾚｽ)
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3(1): 2021/06/13(日)06:27 ID:gocngxYy(3/29) AAS
949１３２人目の素数さん2021/06/12(土) 22:12:18.38ID:Bgfk7yXc
>>944
x^2+y^2=√5において右辺の√5をz^2と見なせばいいだけでしょう。

{5^(1/4)}/5=pとおくと{5^(1/4)}=5p，両辺を2乗して 5^(1/2)=√5=(5p)^2
右辺に√5=(5p)^2を代入して，x^2+y^2=√5=(5p)^2…(*)
このとき(x,y)=(3p,4p)とおけば，(*)を満たします。よって(3p,4p,5p)はx^2+y^2=z^2の解であり，整数比の無理数解です。
このような整数比の無理数解があれば，代入して両辺をp^2でわると，3^2+4^2=5^2 という整数解があることがわかります。

{5^(1/4)}/5=pの/5を/cに，(x,y)=(3p,4p)の3,4をa,bとおけば，(ap)^2+(bp)^2=(cp)^2を満たす自然数(a,b,c)が探せます。
三平方定理を知っているから最初から(a,b,c)=(3,4,5)を代入しているわけですが，ピタゴラス数を知らなくても成り立つ(a,b,c)を探すことは可能です。

実際に探さなくても，「整数比の無理数解がある」という前提ならば，適当なある数を定め，それで割るだけで整数解を導き出せることがわかります。
つまり，n=2ではx^2+y^2=√5に有理数解がなくても，整数比の無理数解があることを示せば，またはあると仮定するならば，そこから「x^2+y^2=z^2には整数解がある」ことを導けます。

n>=3のときも，整数比の無理数解(ap,bp,cp)があると仮定するならば，それをp^nで割るだけで「整数解がある」ことが導けてしまいます。
従って，n>=3のときは，整数比の無理数解が存在しないことを示さないと，整数解の存在を否定できません。

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