フェルマーの最終定理の簡単な証明11

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1(8): 日高 [kokaji222@yahoo.co.jp] 2021/06/13(日)06:22 ID:gocngxYy(1/29) AAS
【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおくと、x^n+y^n=(x+r)^n…(1)となる。
(1)はr^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(n-1)=anのとき、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)となる。
(3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは無理数となる。
(3)(4)の解の比は同じなので、(4)はrが有理数のとき、x,yは共に有理数とならない。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
--------------------------------------------------------------------------------------------
【定理】n=3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
省19

2(23): 2021/06/13(日)06:25 ID:gocngxYy(2/29) AAS
948１３２人目の素数さん2021/06/12(土) 20:52:42.22ID:PW7dDgB9
>>442に返答がないので

> (修正24)
> 【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nの解x,y,zは共に自然数とならない。
【証明】x,yは有理数、a,rは実数とする。
> x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(1)とする。
> (1)をr^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)…(2)と変形する。
> (2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
> (2)はa=1以外、r^(n-1)=anのとき、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)となる。
> (4)の解x,y,zは(3)の解x,y,zのa^{1/(n-1)}倍となるので、(3)のみを検討すれば良い。
省20

3(1): 2021/06/13(日)06:27 ID:gocngxYy(3/29) AAS
949１３２人目の素数さん2021/06/12(土) 22:12:18.38ID:Bgfk7yXc
>>944
x^2+y^2=√5において右辺の√5をz^2と見なせばいいだけでしょう。

{5^(1/4)}/5=pとおくと{5^(1/4)}=5p，両辺を2乗して 5^(1/2)=√5=(5p)^2
右辺に√5=(5p)^2を代入して，x^2+y^2=√5=(5p)^2…(*)
このとき(x,y)=(3p,4p)とおけば，(*)を満たします。よって(3p,4p,5p)はx^2+y^2=z^2の解であり，整数比の無理数解です。
このような整数比の無理数解があれば，代入して両辺をp^2でわると，3^2+4^2=5^2 という整数解があることがわかります。

{5^(1/4)}/5=pの/5を/cに，(x,y)=(3p,4p)の3,4をa,bとおけば，(ap)^2+(bp)^2=(cp)^2を満たす自然数(a,b,c)が探せます。
三平方定理を知っているから最初から(a,b,c)=(3,4,5)を代入しているわけですが，ピタゴラス数を知らなくても成り立つ(a,b,c)を探すことは可能です。

実際に探さなくても，「整数比の無理数解がある」という前提ならば，適当なある数を定め，それで割るだけで整数解を導き出せることがわかります。
省3

4(2): 日高 2021/06/13(日)07:07 ID:gocngxYy(4/29) AAS
>442
rが有理数の時、a=1、r^(n-1)=nは絶対に成り立たないので、(1)は(3)に絶対になりません。

(修正24)において、
(1)(3)は成立しないということです。
つまり、x,yは有理数とならないということです。

5(2): 日高 2021/06/13(日)07:15 ID:gocngxYy(5/29) AAS
>3
従って，n>=3のときは，整数比の無理数解が存在しないことを示さないと，整数解の存在を否定できません。

(4)のx,yが共に有理数とならないので、
s^n+t^n=(s+1)^nは、存在しません。

6(1): 2021/06/13(日)08:15 ID:cysxZ3GO(1) AAS
>>5
> (4)のx,yが共に有理数とならないので、
> s^n+t^n=(s+1)^nは、存在しません。

> (3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは無理数となる。
から
> (4)はrが有理数のとき、x,yは共に有理数とならない。
は言えない

> (4)のx,yが共に有理数とならないので、
は【証明】の中では証明されていない

7(2): 日高 2021/06/13(日)08:20 ID:gocngxYy(6/29) AAS
>6
> (4)はrが有理数のとき、x,yは共に有理数とならない。
は言えない

(3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは無理数となる。
(3)(4)の解の比は同じなので、
から、言えるとおもいますが？

8(1): 2021/06/13(日)08:23 ID:km3dzEZy(1/11) AAS
>>5
「(3)にx,yに整数比の無理数解がない」ことを示さないと「(4)のx,yが共に有理数とならない」を導けない，という話をしています。
(3)に整数比の無理数解(x,y)=(sw,tw) (s,tは正の有理数，wは正の無理数)があれば，1/w倍することで(4)の有理数解(s,t)になります。
そうなってはいけません(フェルマーの最終定理の反例になる)から，前半の「(3)にx,yに整数比の無理数解がない」を否定して下さい，という話をしているわけです。
要するに「(3)のx，yがともに有理数にならない」ことを主張するだけでは，「(4)のx,yが共に有理数とならない」ことを示すには不十分です。
(3)の整数比の無理数解の不存在も立証する必要がありますよ，という話をしています。

従って「(3)にx,yに整数比の無理数解がない」ことを示さない「(4)のx,yが共に有理数とならない」という主張には論拠がありません。

論拠があるというなら，「(3)に整数比の無理数解(x,y)=(sw,tw)が存在する」⇒「(4)に有理数解(s,t)が存在する」という条件命題をその論拠で否定するか，誤りを指摘してみて下さい。

この条件命題を否定できないということは「(4)に有理数解(s,t)が存在する」可能性を排除できていないということです。

つまり論拠なくして「(4)のx,yは共に有理数とならない」と強弁しているだけのことになります。

9(1): 2021/06/13(日)08:31 ID:hR6mqRa6(1) AAS
>>7
> > (4)はrが有理数のとき、x,yは共に有理数とならない。
> は言えない
>
> (3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは無理数となる。
> (3)(4)の解の比は同じなので、
> から、言えるとおもいますが？

> (3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは無理数となる。
と
> (4)はrが有理数のとき、x,yは共に有理数とならない。
省1

10(2): 日高 2021/06/13(日)08:41 ID:gocngxYy(7/29) AAS
>8
「(3)にx,yに整数比の無理数解がない」を否定して下さい，という話をしているわけです。

どういう意味でしょうか？
「(3)にx,yに整数比の無理数解がある」を否定して下さい，
ということではないでしょうか？

11(1): 日高 2021/06/13(日)08:44 ID:gocngxYy(8/29) AAS
>9
> (3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは無理数となる。
と
> (4)はrが有理数のとき、x,yは共に有理数とならない。
は解の比が異なる

例をあげていただけないでしょうか。

12(3): 2021/06/13(日)08:50 ID:lCrOJ5I2(1/6) AAS
前スレ
925 名前：日高[] 投稿日：2021/06/12(土) 16:45:34.38 ID:dhtszH+k [19/19]
>919
A. ＜ n≧3 ＞(3)に有理数解が存在しないならば、(4)にも有理数解は存在しません。 (>>903)

B. ＜ n=2 ＞s^2+t^2=(s+√3)^2は、成立しませんが、s^2+t^2=(s+2)^2は成立します。 (>>904)

という事でよろしいでしょうか？

はい。
- ----
との事なので進めます。
では何故、＜ n=2 ＞と＜ n≧3 ＞で主張が逆になるのでしょうか？
省1

13(1): 2021/06/13(日)08:53 ID:km3dzEZy(2/11) AAS
>>10
その部分はその通りで書き誤りです。
また，x,yについてのみ論じてrを論じていないので，それだけでは(フェルマーの最終定理の反例になりうる)とはいえません。( )書きも(フェルマーの最終定理の反例になりうる)に訂正します。以上訂正して以下のように読み替えて下さい。

>そうなってはいけません(フェルマーの最終定理の反例になりうる)から，前半の「(3)にx,yに整数比の無理数解がない」を証明して下さい，という話をしているわけです。

rに関しては

>>7
>(3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは無理数となる。
>(3)(4)の解の比は同じなので、
>から、言えるとおもいますが？

(3)での整数比となる無理数x,yと無理数rが定数(無理数)倍によって(4)で同時に有理数化する可能性があります。
省3

14(1): 2021/06/13(日)08:58 ID:km3dzEZy(3/11) AAS
>>10
(再訂正)
また，x,yについてのみ論じてrを論じていないので，それだけでは(フェルマーの最終定理の反例に「なる」)とはいえません。( )書きも(フェルマーの最終定理の反例になりうる)に訂正します。>10の3行目は以下のように読み替えて下さい。

>そうなってはいけません(フェルマーの最終定理の反例になりうる)から，前半の「(3)にx,yに整数比の無理数解がない」を証明して下さい

15(2): 日高 2021/06/13(日)09:03 ID:gocngxYy(9/29) AAS
>12
では何故、＜ n=2 ＞と＜ n≧3 ＞で主張が逆になるのでしょうか？

＜ n=2 ＞と＜ n≧3 ＞では、(3)のrが異なるからです。

16: 2021/06/13(日)09:03 ID:/vWvhYYw(1/60) AAS
33 名前：日高[kokaji222@yahoo.co.jp] 投稿日：2021/03/04(木) 17:54:38.01 ID:FbLTf6OQ [17/27]
>32
> AB=2*3ならば、A=2となります。
> それ、どこで習いました？
自明です。

39 名前：日高[(kokaji222@yahoo.co.jp)] 投稿日：2021/03/04(木) 18:11:18.17 ID:FbLTf6OQ [22/27]
>37
>AB=3*2ならどうなりますか？
A=3となります。

41 名前：日高[kokaji222@yahoo.co.jp] 投稿日：2021/03/04(木) 18:25:35.86 ID:FbLTf6OQ [23/27]
省16

17: 2021/06/13(日)09:04 ID:/vWvhYYw(2/60) AAS
476 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2021/04/05(月) 09:30:41.94 ID:YFopNWJI [1/2]
>461

　つまり、>458の内容は正しいのかということ。
　最初の

>> AB=2*3ならば、A=2となります。
>>それ、どこで習いました？
>自明です。

とあるが、ほんとに自明と思っているのか？

480 名前：日高[] 投稿日：2021/04/05(月) 09:58:20.42 ID:QhoDgeRv [8/26]
>476
省14

18: 日高 2021/06/13(日)09:12 ID:gocngxYy(10/29) AAS
>13
(3)での整数比となる無理数x,yと無理数rが定数(無理数)倍によって(4)で同時に有理数化する可能性があります。
その可能性を否定しなければ，

> (4)はrが有理数のとき、x,yは共に有理数とならない。

とはいえません。

よく、意味が理解できません。例をあげていただけないでしょうか。

19(2): 2021/06/13(日)09:15 ID:lCrOJ5I2(2/6) AAS
>>15
> >12
> では何故、＜ n=2 ＞と＜ n≧3 ＞で主張が逆になるのでしょうか？
>
> ＜ n=2 ＞と＜ n≧3 ＞では、(3)のrが異なるからです。

A. ＜ n≧3 ＞(3)に有理数解が存在しないならば、(4)にも有理数解は存在しません。
B. ＜ n=2 ＞s^2+t^2=(s+√3)^2は、成立しませんが、s^2+t^2=(s+2)^2は成立します。

B. では (3) を使っていないですよ。
「 s^2+t^2=(s+√3)^2 は成立しませんが」を使っています。

20(1): 2021/06/13(日)09:15 ID:EBc3j4ru(1/2) AAS
>>11
> 例をあげていただけないでしょうか。

> (3)はrが無理数なので、yを有理数とすると
なのでx^3+y^3=(x+√3)^3のyを有理数tとする

x^3+y^3=(x+1)^3のyを有理数Tとして両辺を√3倍すると
t=T*√3は成立しないから解の比は異なる

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