[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね 470 (1002ﾚｽ)
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147(3): 2022/01/09(日)23:59 ID:5G01BRcD(1) AAS
nCkが整数であることを、「組み合わせの数だから整数になる」という言い方を使わず、数式だけで説明するにはどうしたらいいですか？
148: 2022/01/10(月)08:40 ID:MMjqvXqS(1) AAS
パスカルの三角形
149: 2022/01/10(月)10:50 ID:fb/Z7vhs(1/6) AAS
二つの級数 Σa_n, Σb_n が与えられたとき、 a_i * b_j = a_{ij} とおく。いま、自然数の組 (i, j) の全体を一列に並べると級数 Σc_{ij} が定まる。
これらの級数について次の定理が成り立つ。
定理15.
Σa_n と Σb_n とが絶対収斂するならば、 Σc_{ij} も絶対収斂して
Σc_{ij} = Σa_n * Σb_n.
特に、 c_n = a_n*b_1 + a_{n-1}*b_2 + … + a_1*b_n とおけば、 Σc_n は絶対収斂し
Σc_n = Σa_n * Σb_n.
150: 2022/01/10(月)11:00 ID:fb/Z7vhs(2/6) AAS
後半の証明ですが、
|c_n| = |a_n*b_1 + a_{n-1}*b_2 + … + a_1*b_n| ≦ |a_n|*|b_1| + |a_{n-1}|*|b_2| + … + |a_1|*|b_n|
d_n = |a_n|*|b_1| + |a_{n-1}|*|b_2| + … + |a_1|*|b_n| を第 n 項とする級数 Σd_n は収斂級数 Σ|c_{ij}| 「部分級数」であるから収斂する。
よって、 Σ|c_n| は収斂する。
Σc_n は Σc_{ij} の「部分級数」であるから Σc_{ij} と同じ値に収斂する。
省2
151: 2022/01/10(月)11:01 ID:fb/Z7vhs(3/6) AAS
訂正します：
後半の証明ですが、
|c_n| = |a_n*b_1 + a_{n-1}*b_2 + … + a_1*b_n| ≦ |a_n|*|b_1| + |a_{n-1}|*|b_2| + … + |a_1|*|b_n|
d_n = |a_n|*|b_1| + |a_{n-1}|*|b_2| + … + |a_1|*|b_n| を第 n 項とする級数 Σd_n は収斂級数 Σ|c_{ij}| の「部分級数」であるから収斂する。
よって、 Σ|c_n| は収斂する。
省3
152(1): 2022/01/10(月)11:05 ID:fb/Z7vhs(4/6) AAS
Σc_n = Σc_{ij} = Σa_n * Σb_n
が成り立ちますが、
Σ|c_n| ≦ Σ|c_{ij}| = Σ|a_n| * Σ|b_n|
ですよね。
これって不思議じゃないですか？
省1
153(1): 2022/01/10(月)12:03 ID:543ydFCG(1) AAS
12345...2021 × 9999 ＋ 2022
を計算したときの、各位の数字の和
って求まりますか？
154: 2022/01/10(月)15:15 ID:QHExpgiE(1) AAS
点Ｐから△ＡＢＣの各辺ＢＣ,ＣＡ,ＡＢに垂線を下した時の交点をＬ,Ｍ,Ｎとする。
点Ｐを中心とする円に対してＬ,Ｍ,Ｎを反転させた点をＬ’,Ｍ’,Ｎ’とする。
（１）ＡＬ,ＢＭ,ＣＮが一点で交わるのは点Ｐがどういう条件を満たすときか？
（２）ＡＬ’ＢＭ’ＣＮ’は一点で交わることを示せ。
155: 2022/01/10(月)15:38 ID:owjhGE8W(1/2) AAS
答
156: 2022/01/10(月)15:47 ID:7unzAFZ0(1) AAS
わかるんですね（笑）
157: 2022/01/10(月)15:50 ID:owjhGE8W(2/2) AAS
劣等感婆だろｗ
158: 2022/01/10(月)15:52 ID:nl1O1snJ(1) AAS
>>153
12345…2021って何？
123456789101112131415……2018201920202021
ってこと？
159(1): 2022/01/10(月)20:10 ID:Fo61CQSo(1/2) AAS
x>0 に対して -x-coshxsinhx+2(sinhx)^2/x<0 になりますでしょうか。
160(1): 2022/01/10(月)20:18 ID:fb/Z7vhs(5/6) AAS
A, B を n 次複素正方行列とし、 A*B = B*A が成り立つとする。
(I_n + A + (1/2!)*A^2 + (1/3!)*A^3 + …) * (I_n + B + (1/2!)*B^2 + (1/3!)*B^3 + …) = (I_n + (A + B) + (1/2!)*(A + B)^2 + (1/3!)*(A + B)^3 + …)
が成り立つ。
A, B が 1 次複素正方行列の場合と同じように証明するにはどうすればいいですか？
161: 2022/01/10(月)20:26 ID:Fo61CQSo(2/2) AAS
>159
-x^2-xcoshxsinhx+2(sinhx)^2<0 on (0,∞)
が3階微分で示せたのでできました。
もし取り組んで下さった方がおりましたらありがとうございました。
162(1): 2022/01/10(月)20:40 ID:fb/Z7vhs(6/6) AAS
>>160
あ、何も変更する点はないですね。
163(1): 2022/01/11(火)10:07 ID:34IpToic(1/2) AAS
>>147
nCk=n(n-1)…(n-k+1)/k!
で分子は連続するk個の整数なのでkで割った余りは0,1,2,…k-1を一つずつ取る。
分子はk以上の数の積。よってiの倍数(1≦i≦k)をいずれも含みnCkは整数。
164(1): 2022/01/11(火)10:21 ID:ZPAtvOPJ(1) AAS
うそくさ
165: 2022/01/11(火)10:37 ID:Y1D0Xw6O(1) AAS
>>162
うそくせー
166: 163 2022/01/11(火)10:39 ID:34IpToic(2/2) AAS
>>164すまん間違ってた…。取り消します。
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