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分からない問題はここに書いてね 470 (1002ﾚｽ)
分からない問題はここに書いてね 470 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/
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65: １３２人目の素数さん [sage] 2022/01/02(日) 17:21:11 ID:/NpXhhXK >>54 立体の形状は簡単につかめるでしょ だから体積も簡単に出るでしょ 和をとって極限もいけるでしょ はい出来た、この通りにやってね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/65
66: １３２人目の素数さん [] 2022/01/02(日) 19:50:50 ID:VJAPunju A を n 次複素正方行列とする。 A の異なる固有値に対する固有空間が直交するならば、 A は正規行列であることを証明せよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/66
67: １３２人目の素数さん [] 2022/01/02(日) 20:00:43 ID:VJAPunju A の異なる固有値を α_1, …, α_k とする。 α_1 に対する固有空間を V_{α_1} … α_k に対する固有空間を V_{α_k} とする。 V_{α_1} の正規直交基底、…、V_{α_k} の正規直交基底をすべて並べたものは、正規直交系をなす。 この正規直交系が基底になることはどうやって示すのでしょうか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/67
68: １３２人目の素数さん [] 2022/01/02(日) 20:09:29 ID:VJAPunju 佐武一郎著『線型代数学』 特異値についても一応、例として書いてあるんですね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/68
69: １３２人目の素数さん [] 2022/01/02(日) 20:11:46 ID:VJAPunju >>67 なんか成り立たない反例がありそうな気がします。 反例をお願いします。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/69
70: １３２人目の素数さん [sage] 2022/01/02(日) 20:13:49 ID:12jVebBj 固有空間は元の空間を分割しますから当然かと思います http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/70
71: １３２人目の素数さん [] 2022/01/02(日) 21:12:59 ID:VJAPunju >>67 V_{α_1} + … + V_{α_k} ⊃ C^n が成り立たない例があるような気がします。 V_{α_1} + … + V_{α_k} ⊃ C^n が成り立たない例を教えて下さい。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/71
72: １３２人目の素数さん [] 2022/01/02(日) 21:17:32 ID:VJAPunju 佐武一郎著『線型代数学（新装版）』を調べました。 やはり、 >>67 は成り立たないのではないかと思います。 p.175 定理7 複素正方行列 A がユニタリー行列によって対角化できるためには、 A が正規行列であることが必要十分である。 A がユニタリー行列によって対角化されるためには、明らかに、 A の相異なる固有値に対する固有空間が互に直交し、かつ V がそれらの 直和になることが必要十分である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/72
73: １３２人目の素数さん [] 2022/01/02(日) 21:18:05 ID:VJAPunju 訂正します： 佐武一郎著『線型代数学（新装版）』を調べました。 やはり、 >>66 は成り立たないのではないかと思います。 p.175 定理7 複素正方行列 A がユニタリー行列によって対角化できるためには、 A が正規行列であることが必要十分である。 A がユニタリー行列によって対角化されるためには、明らかに、 A の相異なる固有値に対する固有空間が互に直交し、かつ V がそれらの 直和になることが必要十分である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/73
74: １３２人目の素数さん [] 2022/01/02(日) 21:19:28 ID:VJAPunju >>73 わざわざ、「かつ V がそれらの直和になることが」と書いてあるので、この条件は省けないのではないでしょうか？ >>66 が成り立たない例をお願いします。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/74
75: １３２人目の素数さん [] 2022/01/02(日) 21:42:42 ID:VJAPunju >>61 https://youtu.be/qTIwqnweaf8 求めていた答えを見つけました。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/75
76: 【大吉】 [sage] 2022/01/03(月) 00:02:40 ID:TlyTpMFR 前>>64 >>32(別解) A(1,0),B(0,1),P(p,p^3-p) 加法定理よりcos(∠OPA+∠OPB)=cos∠OPAcos∠OPB-sin∠OPAsin∠OPB =(→OP・→AP)(→OP・→BP)/(OP・AP)(OP・BP)-sin∠OPAsin∠OPB =｛p(p-1)+(p^3-p)^2｝｛p^2+(p^3-p)^2-(p^3-p)｝/｛p^2+(p^3-p)^2｝√｛(p-1)^2+(p^3-p)^2｝√｛p^2+(p^3-p-1)^2｝-√1-｛p(p-1)+p^2(p^2-1)^2｝^2/｛p^2+(p^3-p)^2｝｛(p-1)^2+(p^3-p)^2｝√1-｛p(p-1)+(p^3-p)^2｝｛p^2+(p^3-p)^2-(p^3-p)｝/｛p^2+(p^3-p)^2｝｛p^2+(p^3-p-1)^2 これを微分して=0を与えるpがこれを最小にして∠OPA+∠OPBを最大にするんじゃないか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/76
77: １３２人目の素数さん [] 2022/01/03(月) 02:12:19 ID:a6/1CByL >>66 A := {{1, 1, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 0}} とすると A は正規行列ではありません。 そして、 A の異なる固有値に対する固有空間は直交します。 したがって、 >>66 はやはり成り立ちません。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/77
78: １３２人目の素数さん [sage] 2022/01/03(月) 09:55:40 ID:MvPkQRfA a,b,cを実数の定数とする。 （1）|ax^2+bx+c|≦1を満たす実数xが存在するために、a,b,cが満たすべき必要十分条件を求めよ。 （2）実数xが動くとき、|cx^2+bx+a|の最小値をm(a,b,c)とおく。a,b,cが（1）の条件を満たしながら動くとき,m(a,b,c)の最小値を求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/78
79: １３２人目の素数さん [] 2022/01/03(月) 10:02:38 ID:a6/1CByL >>75 任意の n 次実正方行列 A が A = Q * S と直交行列と対称行列の積に一意的に分解されるってすごい定理じゃないですか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/79
80: １３２人目の素数さん [] 2022/01/03(月) 10:18:33 ID:a6/1CByL >>79 この定理は、どの線形代数の教科書にも載せるべき驚くべき定理ではないでしょうか？ 伊理正夫著『線形代数汎論』には書いてありました。 「 連続体の線形な変形を扱うとき、ユニタリ変換（回転や鏡映）を非本質的な変形とみなすと、どんな変形も、適当な直交座標軸を選べば、軸方向の伸縮として表せるということを意味している。 」 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/80
81: １３２人目の素数さん [] 2022/01/03(月) 10:25:43 ID:a6/1CByL ジョルダンの標準形もいいですが、 >>79 この定理を最終目標にして線形代数の本を書くというのもいいかもしれませんね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/81
82: １３２人目の素数さん [] 2022/01/03(月) 13:25:07 ID:a6/1CByL 実2次形式のシルベスターの標準形って何か意味ありますか？ 直交標準形だけでいいように思います。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/82
83: １３２人目の素数さん [sage] 2022/01/03(月) 20:07:10 ID:MvPkQRfA >>78 結論が気になるのですがこれが分かりません。調べてみるとminに限界があることまでは分かりましたが… 実際解こうとしても、放物線の軸の位置で場合分けしても場合分けだらけでそれ以上進めませんでした。何か別の発想が必要だと思うのですが分かりません。 よろしくお願いします。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/83
84: １３２人目の素数さん [] 2022/01/04(火) 11:26:31 ID:uDWlT/5o なぜ、内積を以下のように定義しないのでしょうか？ C^n の標準内積を先に勉強した読者にはこの定義が分かりやすいと思います。 V を C 上のベクトル空間とする。 V × V から C への関数 f が、ある V の1つの基底 v_1, …, v_n に対して、、 f(v, w) = x_1*conjugate(y_1) + … + x_m*conjugate(y_n) （ただし、 v = x_1*v_1 + … + x_n*v_n, w = y_1*v_1 + … + y_n*v_n とする。） とかけるとき、 f を V 上の内積という。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/84
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