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728(1): 2022/02/16(水)23:34 ID:eLZu9HPU(7/7) AAS
ガウス記号の定義により、
すべての x に対して、
g(x) := x/2 + 7/12 ≦ f(x) < x/2 + 5/6 =: h(x)
が成り立つ。
数列 {b_n} を b_{n+1} = g(b_n) で定義する。
数列 {c_n} を c_{n+1} = h(c_n) で定義する。
{b_n} は初期値によらず、 7/6 に収束することは簡単に分かる。
{c_n} は初期値によらず、 5/3 に収束することは簡単に分かる。
a_1 = b_1 = c_1 のとき、
g(b_1) ≦ f(a_1) < h(c_1)、すなわち、 b_2 ≦ a_2 < c_2 が成り立つ。
b_n ≦ a_n < c_n が成り立つと仮定すると、
g(b_n) ≦ f(b_n) ≦ f(a_n) < f(c_n) < h(c_n)、すなわち、 b_{n+1} ≦ a_{n+1} < c_{n+1} が成り立つ。
よって、すべての n に対して、
b_n ≦ a_n < c_n が成り立つ。
よって、 lim b_n = 7/6, lim c_n = 5/3 であるから、
十分大きなすべての n に対して、
1 < b_n ≦ a_n < c_n < 2
が成り立つ。
よって、十分大きなすべての n に対して、 [a_n] = 1 である。
よって、 lim [a_n] = 1 が成り立つ。
lim a_n =: α とおくと、
a_{n+1} = f(a_n) = [a_n]/4 + a_n/4 + 5/6 だから、
α = 1/4 + α/4 + 5/6
すなわち、 α = 13/9 である。
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