[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね 470 (1002ﾚｽ)

分からない問題はここに書いてね 470 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/

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834: １３２人目の素数さん [] 2022/02/25(金) 10:06:21 ID:O3TNYiSS >>830 帰納法により証明する。 n = 0 のときは明らかに成り立つ。 n-1 のときに成り立つと仮定する。 コーシーの定理により、 Z(G) には位数 p の元が存在する。 <a> ⊂ Z(G) だから、 <a> は G の正規部分群である。 #(G/<a>) = p^{n-1} である。 帰納法の仮定により、 G/<a> はすべての i ∈ {0, 1, …, n-1} に対して、位数が p^i であるような部分群を持つ。 f : G → G/<a> を自然な全射準同型とする。 H を G/<a> の位数 i ∈ {0, 1, …, n-1} の部分群とする。 f^{-1}(H) は G の部分群である。 f の f^{-1}(H) への制限を g とする。 g : f^{-1}(H) → H は全射準同型である。 f^{-1}(H)/(Ker(g)) は H と同型である。 #(f^{-1}(H)/(Ker(g))) = #H #f^{-1}(H) / #Ker(g) = #H #f^{-1}(H) = #Ker(g) * #H = p * #H = p^{i+1} よって、 G はすべての i ∈ {0, 1, …, n-1} に対して、位数が p^{i+1} であるような部分群を持つ。 すなわち、 G はすべての i ∈ {1, …, n} に対して、位数が p^i であるような部分群を持つ。 G は 単位群 {e} を含むから、 G はすべての i ∈ {0, 1, …, n} に対して、位数が p^i であるような部分群を持つ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/834

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