[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね 470 (1002ﾚｽ)
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219(1): 2022/01/17(月)10:20 ID:DX6Gpz57(1/11) AAS
p を素数とする。
G を Z_p を成分とする行列式が 0 でない 2 次正方行列全体からなる乗法群とする。
#G を p の式で表わせ。
222: 2022/01/17(月)12:02 ID:DX6Gpz57(2/11) AAS
>>221
正解です。
226(1): 2022/01/17(月)15:28 ID:DX6Gpz57(3/11) AAS
G を群とする。
i を整数とする。
(a * b)^i = a^i * b^i
(a * b)^{i+1} = a^{i+1} * b^{i+1}
(a * b)^{i+2} = a^{i+2} * b^{i+2}
がすべての a, b ∈ G に対して成り立つとする。
このとき、 G は可換群であることを示せ。
228(1): 2022/01/17(月)16:43 ID:DX6Gpz57(4/11) AAS
(a * b)^i = a^i * b^i
(a * b)^{i+1} = a^{i+1} * b^{i+1}
(a * b)^{i+2} = a^{i+2} * b^{i+2}
(b * a)^i = a^{-1} * (a * b)^{i + 1} * b^{-1} = a^{-1} * (a^{i+1} * b^{i+1}) * b^{-1} = a^i * b^i
なので、
(a * b)^i = (b * a)^i
同様にして（i を i + 1 に置き換えて、同様の式変形をすると）
省4
229: 2022/01/17(月)16:49 ID:DX6Gpz57(5/11) AAS
>>228
我ながら、いい解答ですね。
230(2): 2022/01/17(月)17:35 ID:DX6Gpz57(6/11) AAS
ところで、この問題の次の問題が以下の問題です：
G を群とする。
i を整数とする。
(a * b)^i = a^i * b^i
(a * b)^{i+1} = a^{i+1} * b^{i+1}
がすべての a, b ∈ G に対して成り立つとする。
省1
231(1): 2022/01/17(月)17:38 ID:DX6Gpz57(7/11) AAS
(a * b)^0 = a^0 * b^0
(a * b)^1 = a^1 * b^1
は任意の群で成り立つ。
群の中には非可換群が存在する。
232: 2022/01/17(月)17:38 ID:DX6Gpz57(8/11) AAS
もし、
>>230
の問題が試験で出題された場合、
>>231
この解答でOKですか？
234: 2022/01/17(月)17:49 ID:DX6Gpz57(9/11) AAS
>>230
の問題は別に任意の i, i + 1 に対して成り立つことを仮定していません。
ある i, i + 1 に対して仮定が成り立つが、 G は非可換でありえるということを示せば十分なはずです。
236(1): 2022/01/17(月)17:54 ID:DX6Gpz57(10/11) AAS
>>225
この2つの問題はある教科書に載っている問題です。
238: 2022/01/17(月)18:10 ID:DX6Gpz57(11/11) AAS
この教科書の著者は不注意な人ですね。
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