Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 65

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592: １３２人目の素数さん [] 2022/04/25(月) 07:13:51.61 ID:CGHIwjeU

>>591
つづき
この 6 年間（＝ 2000 年夏〜2006 年夏）の、
「圏の幾何」や絶対遠アーベル幾何
を主テーマとした研究の代表的な例として、次のようなものが挙げられる：
・The geometry of anabelioids （2001 年）
スリム（＝任意の開部分群の中心が自明）な副有限群を幾何的な対象として扱い、
その有限次エタール被覆の圏の性質を調べる。特に、p 進体上の双曲曲線の数論的基
本群として生じる副有限群の場合、この圏は、上半平面の幾何を連想させるような
絶対的かつ標準的な「有界性」等、様々な興味深い性質を満たす。
・The absolute anabelian geometry of canonical curves （2001 年）
p 進 Teichm¨uller 理論に登場する標準曲線に対して、p 進体上のものとして初とな
る絶対遠アーベル幾何型の定理を示す。

P3
・Categorical representation of locally noetherian log schemes （2002 年）
スキームやログ・スキームが、その上の有限型の（ログ）スキームの圏から自然
に復元されるという、1960 年代に発見されてもおかしくない基本的な結果を示す。
・Semi-graphs of anabelioids （2004 年）
古典的な「graph of groups」の延長線上にある「semi-graph of anabelioids」に対
して、様々なスキーム論的な「パターン」が忠実に反映されることや、それに関連し
た「遠アーベル幾何風」の結果を証明する。
・A combinatorial version of the Grothendieck conjecture （2004 年）
退化な安定曲線に付随する「semi-graph of anabelioids」を、スキーム論が明示的
に登場しない、抽象的な組合せ論的枠組で取り上げ、様々な「遠アーベル幾何風」の
「復元定理」を示す。
・Conformal and quasiconformal categorical representation of hyperbolic
Riemann surfaces （2004 年）
双曲的リーマン面の幾何を二通りのアプローチで圏論的に記述する。そのうちの
一つは、上半平面による一意化を出発点としたもので、もう一つは、リーマン面上の
「長方形」（＝等角構造に対応）や「平行四辺形」（＝疑等角構造に対応）によるもの
である。
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/592

593: １３２人目の素数さん [] 2022/04/25(月) 07:15:33.51 ID:CGHIwjeU

>>592
つづき
・Absolute anabelian cuspidalizations of proper hyperbolic curves （2005年）
固有な双曲曲線の数論的基本群から、その開部分スキームの数論的基本群を復元
する理論を展開する。この理論を、有限体や p 進体上の絶対遠アーベル幾何に応用
することによって、様々な未解決予想を解く。
・The geometry of Frobenioids I, II （2005 年）
ガロア圏のような「´etale 系」圏構造と、（ログ・スキームの理論に出てくる）モノイドのような「Frobenius 系」圏論的構造が、どのように作用しあい、またどのように類別できるかを研究する。

数体に対する Teichm¨uller 理論
2006 年の後半から、目指すべき理論の形がようやく固まってきて、その理論を記
述するための執筆活動が本格的に始まった。この理論の「形」とは、一言で言うと、
巾零通常固有束付きの正標数の双曲曲線に対して展開する p 進 Teichm¨uller 理
論と、「パターン的に」類似的な理論を、一点抜き楕円曲線付きの数体に対して展開する　
という内容のものである。因みに、ここに出てくる（数体上の）「一点抜き楕円曲線」
の中に、その楕円曲線の上に展開される Hodge-Arakelov 理論が含まれている。

P4
この理論のことを、「IU Teichm¨uller 理論」（＝「IU Teich」）と呼ぶことにした。
IUTeich の方は、本質的にスキーム論の枠組の外（＝「IU 的な枠組」）で定式化される
理論であるにも関わらず、調べれば調べるほど p 進 Teichm¨uller 理論（＝「pTeich」）
との構造的、「パターン的」類似性が、意外と細かいところまで及ぶものであること
に幾度となく感動を覚えたものである。　　
2006 年〜2008 年春の「IUTeich の準備」関連の論文は次の四篇である：
・The ´etale theta function and its Frobenioid-theoretic manifestations（2006 年）
p 進局所体上の退化する楕円曲線（＝ Tate curve）のある被覆の上に存在するテー
タ関数に付随する Kummer 類をエタール・テータ関数と呼ぶ。このエタール・テー
タ関数や、テータ自明化に付随する Kummer 理論的な対象は、様々な興味深い絶対
遠アーベル的な性質や剛性性質を満たしている。
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/593

594: １３２人目の素数さん [] 2022/04/25(月) 07:16:55.52 ID:CGHIwjeU

>>593
つづき
これらの性質の一部は Frobenioid
の理論との関連で初めて意義を持つものになる。また、このエタール・テータ関数
は、IUTeich では、pTeich における標準的 Frobenius 持ち上げに対応する対象を定
める予定である。この Frobenius 持ち上げの類似物を微分することによって ABC 予
想の不等式が従うと期待している。このようにして不等式を出す議論は、　
「正標数の完全体の Witt 環上の固有で滑らかな種数 g 曲線の上に Frobenius 持
ち上げが定義されていると仮定すると、
である。
その持ち上げを微分して微分層の次数を計算することにより、不等式
g ≦ 1
が従う」という古典的な議論の IU 版とも言える。
・Topics in absolute anabelian geometry I: generalities （2008 年）
このシリーズ（＝ I,II,III）の主テーマは、絶対遠アーベル幾何を、「Grothendieck
予想型の充満忠実性」を目標とした視点ではなく、「群論的なアルゴリズム＝ソフト」
の開発に軸足を置いた視点で研究するというものである。この第一論文では、様々な
準備的な考察を行う。代表的な定理では、玉川安騎男氏に伝え聞いた未出版の結果か
ら、（半）絶対 p 進遠アーベル幾何では初となる Grothendieck 予想型の「Hom 版」
を導く。因みに、この定理は IUTeich とは直接関係のない結果である。
・Topics in absolute anabelian geometry II: decomposition groups
（2008 年）
IUTeich のための準備的な考察とともに、IUTeich とは論理的に直接関係のない
配置空間の絶対遠アーベル幾何や、点の分解群から基礎体の加法構造を絶対 p 進遠
アーベル幾何的な設定で復元する理論を展開する。ただ、後者の p 進的な理論では、
上述の「Frobenius 持ち上げの微分から不等式を出す」議論を用いており、哲学的
には IUTeich と関係する側面がある。

P5
・Topics in absolute anabelian geometry III: global reconstruction algorithms （2008 年）
「Grothendieck 予想型の充満忠実性」を目標とする「双遠アーベル幾何」（＝ bianabelian geometry）と一線を画した「単遠アーベル幾何」（＝ mono-anabelian geometry）を数体上の大域的な設定で展開する。
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/594

595: １３２人目の素数さん [] 2022/04/25(月) 07:18:21.45 ID:CGHIwjeU

>>594
つづき
これは正にIUTeich で用いる予定の遠アーベル幾何
である。この理論の内容や「IUTeich 構想」との関連性については、論文の Introduction をご参照下さい。
ここで興味深い事実を思い出しておきたい。そもそも Grothendieck が有名な
「Faltings への手紙」等で「遠アーベル哲学」を提唱した重要な動機の一つは正に diophantus幾何への応用の可能性にあったらしい。つまり、遠アーベル幾何が（ABC 予想
への応用が期待される）IUTeich で中心的な役割を果たすことは、一見して Grothendieck の直感にそぐった展開に見受けられる。一方、もう少し「解像度を上げて」状
況を検証すると、それほど単純な関係にあるわけではないことが分かる。例えば、
Grothendieck が想定していた応用の仕方では、数体上の「セクション予想」によっ
て数体上の有理点の列の極限を扱うことが可能になるという観察が議論の要となる。
これとは対照的に、「IUTeich 構想」では、（数体上のセクション予想ではなく）
数体と p 進体の両方に対して両立的に成立する（絶対遠アーベル幾何の一種で
ある）単遠アーベル的アルゴリズムが主役を演じる
予定である。この「単遠アーベル的アルゴリズム」は、pTeich における MF▽-object
の Frobenius 不変量に対応するものであり、即ち p 進の理論における
Witt 環の Teichm¨uller 代表元や pTeich の標準曲線
の「IU 的類似物」と見ることができる。別の言い方をすれば、この「単遠アーベル的
アルゴリズム」は、一種の標準的持ち上げ・分裂を定義しているものである。また、（単
遠アーベル的な）「ガロア系」の対象が p 進の理論における crystal（＝ MF∇-object
の下部 crystal）に対応しているという状況には、Hodge-Arakelov 理論における「数
論的 Kodaira-Spencer 射」（＝ガロア群の作用による）を連想させるものがある。 　
2008 年 4 月から IUTeich 理論の「本体」の執筆に取り掛かる予定である。この作
業は、ごく大雑把に言うと、次の三つの理論を貼り合わせることを主体としたもの
である：
・The geometry of Frobenioids I, II
・The ´etale theta function and its Frobenioid-theoretic manifestations
・Topics in absolute anabelian geometry III
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/595

599: １３２人目の素数さん [sage] 2022/04/25(月) 18:42:05.06

下げマスの書き込み

4/23(土)　MU2asfqc

>>490
「”q-parameter”が分からないので調べていた。下記でも出てくるね」
>>491
「梅崎直也氏をヒントに調べると　多分下記の
　q = exp(2πiz) (Takeshi Saito)
　モジュラー形式 ノーム(nome)の平方、q-展開からみ モジュラリティ定理（q=e^2πiτ）
　が該当しそう。
　（梅崎直也先生の講義と答えは、合っているかな？）
　ちゃんと、文書中に定義を書いてほしいね、望月先生
（この分野の人には常識なのだろうが）」
>>492-498　（コピペのみ）
>>515　（数学と無関係な戯言）
>>527
「＜”宇宙”について＞
　これ、望月氏の 宇宙 ”relationships between universes”の説明が、
　下記にあるけど　結構独特で、世間的には、ちょっとズレている気がする。
　「複数の宇宙の使用は、1960年代の数学」（下記）とかね
　一方、（後述の）ちょうど1960年代に、数学基礎論で強制法が考えられて、
　「強制法は集合論の宇宙 V をより大きい宇宙 V* に拡大する」（下記）みたいな話がある
　だから、数学基礎論の強制法を知っている人
　（あるいは、いまどき ”universe”の数学的意味を検索した人）は、
　IUTの”Inter-universal”という語法に違和感を感じる気がする
　代数系なり代数幾何にしろ、集合論や圏論としても、せいぜい集合と類までで収まるはず。
　（圏論でも、”局所的に小さい (locally small) ”で収まるはず）
　”宇宙”は、普通は出てこない」
>>527-536　（コピペと自動翻訳）
>>538
「いまどきの普通の圏論の教科書を読んだ人が
　”宇宙”とか言われると違和感あると思うな」
　（数学と無関係の無駄話、略）
「もっとも、”宇宙”は個人趣味として読めば
　こんな用語の問題はIUTの数学的本質には、影響なしでしょう」
>>539-540　（数学と無関係な発言）
>>543　（数学と無関係な弁解）

数学的な中身はこれだけｗ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/599

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