スレタイ箱入り無数目を語る部屋18

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276(3): 2024/03/30(土)23:31 ID:nJh65FBj(8/8) AAS
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再録>>150より
　>・箱一つ、サイコロ一つの目を入れる。確率変数Xで扱う
　入れた目をx、賭ける目をyと書く
　xが確率変数ならばyに依存せず的中確率=1/6であるはず
　しかし実際には　x=yのとき的中確率=1　x≠yのとき的中確率=0
　よって矛盾
　よってxは確率変数でない
　一方、yをランダム選択した場合、yが確率変数である
　実際、この場合はxに依存せず的中確率=1/6である
　以上の通り、「見えないもの＝確率変数」は間違い
(引用終り)

・そういえば、中学生の時代に似た疑問をもった記憶がある
　この話は記憶の彼方（解決したのか不明）
・さていま考えてみると、>>99の2008年東工大数学第3問 ”いびつなサイコロ”の応用で解ける
　>>209よりこの問題のΩは、”サイコロを2回ふったとき”
　Ω＝{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
　(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
　(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
　(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
　(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
　(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}で
　組合せ6x6の36通り、２次元で考える必要がある
　サイコロ1回だとΩ＝{1,2,3,4,5,6}
　普通のサイコロだと確率は各1/6ですが、いびつサイコロだと確率p1,p2,p3,p4,p5,p6≠1/6 で扱う
・いま、簡単に箱一つ正常なサイコロ一つの目を入れる。確率変数Xで扱うとしてΩ＝{1,2,3,4,5,6}
　P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6
　一方数当ての人が唱える数が、1〜6のランダムとして、これを確率変数Yで扱うとしてΩ＝{1,2,3,4,5,6}
　P(Y=1)=P(Y=2)=P(Y=3)=P(Y=4)=P(Y=5)=P(Y=6)=1/6
　よって、的中は同じ数で揃った場合で、(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)の6通り 6＊1/36＝1/6で理論通り
・別に、数当ての人が唱える数が 1〜6だが偏りがあるとして p'1,p'2,p'3,p'4,p'5,p'6≠1/6(どれかは1/6ではないが総和Σi=1〜6 p'i =1)
　とすると、確率 1/6*p'1+1/6*p'2+1/6*p'3+1/6*p'4+1/6*p'5+1/6*p'6
　＝1/6(p'1+p'2+p'3+p'4+p'5+p'6）＝1/6(つまり理論通り)
　サイコロが正常だと、数当ての人が唱える数に偏りがあっても、的中確率1/6
・さて、的中確率1/6に成らない場合がある
　例えば、偏ったサイコロで3が出やすく確率1/2とする。それを見抜いた数当ての人が唱える数が常に3なら的中確率1/2になる

よって、「箱一つ、サイコロ一つの目を入れる。確率変数Xで扱う」として矛盾はない！
(参考)
外部ﾘﾝｸ:mine-kikaku.co.jp
峰企画
確率 – 2008年東工大数学第3問 20230227
2008年東工大数学第3問はそれぞれの目の出る確率が同じでない、
イカサマなサイコロに対する確率問題です。問題文は以下のとおりです。
2008年東工大数学第3問
いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率がとは限らないとする。
このサイコロを2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率をQとする。
(1) P>=1/6であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ。
(2) 1/4>=Q>=1/2-3/2Pであることを示せ

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