高校数学の質問スレ Part438

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357: 10/10(木)01:00 ID:aByq0xxZ(1/2) AAS
>>332の第三変換は、
(a3,b3,c3)=(+a+2b+2c,+2a+b+2c,+2a+2b+3c)です。
返還前のaとbの差をd(=b-a)とすると
変換後の差はb3-a3=(2a+b+2c)-(a+2b+2c)=a-b=-dです。
再び第三変換を行うと、-(-d)=dとなります。

原始ピタゴラス数(3,4,5)のdは1
第三変換のみを用いて原始ピタゴラス数を作成していくと、お望みの列ができあがります。

p=√2+1,q=√2-1として

a[n]=(p^(2n+1)-q^(2n+1)+2*(-1)^n)/4
b[n]=(p^(2n+1)-q^(2n+1)-2*(-1)^n)/4
省1

358: 10/10(木)23:23 ID:aByq0xxZ(2/2) AAS
補足
第一変換の方は一般項が簡単に予想できましたがこちらはちょっと無理。
しかし、漸化式が分かっているので、

M=((1,2,2),(2,1,1),(2,2,3))という行列とp[0]=(1,0,1)^tを使って
p[n]=M^n (1,0,1)^t　で計算できます。
(p[1]=M p[0] = (1+2,2+2,2+3)^t = (3,4,5)^t)

Mathematicaが使えるなら、

MatrixPower[{{1,2,2},{2,1,2},{2,2,3}},n].{1,0,1}//Simplify//InputForm

と入力すると、
省4

359(1): 10/11(金)01:24 ID:SzI7sab9(1/2) AAS
ありがとうございます。第一変換と違って理解しきれないのが残念です。
あれが明確な定式化がされている唯一の変換なのですね。

先程の≡1 mod4からヒントを得て
ふと原始ピタゴラス数の3分木を眺めていると、
最も大きい数は(その数にいずれの変換を施しても)、必ず4で割って1余る数になることに気付きましたが、これを証明する方法は果たしてあるでしょうか?

a^2+b^2=c^2
かつ
gcd(a,b,c)=1
であるとき

例外なくc≡1 mod4となることが証明できるかという話です。

360: 10/11(金)01:44 ID:SzI7sab9(2/2) AAS
奇数の平方数を4で割った余りは必ず1になり、
4で割って1余る数の2乗も必ずそうなります。
これでは必要十分といえないので
必ず奇数になることから、
もとの数が4で割って3余る値をとることは決してない、
(4m+3)^2=a^2+b^2を満たすa,bの整数解が存在しないことを証明する方法があればとも考えています。

361: 10/11(金)17:57 ID:lwT4srLm(1) AAS
複素平面上の2点a+ib,x+iyを考えます。
この二点の積は ax-by+i(ay+bx)
絶対値の積は積の絶対値なので、
(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax-by)^2+(ay+bx)^2
が成立します。結構有名な恒等式です。

a,b,x,yを整数と考えると、
整数の平方の和（右辺）が、平方和の積（左辺）にできる事を示す式です。

右辺がmod4で1ならば、左辺は、1×1か、3×3でなければなりませんが、
左辺の両因子とも、平方和になっています。

結局、互いに素なa,bに対し、
省3

362: 10/11(金)18:17 ID:HT0Pvedw(1) AAS
>>349
尿瓶ジジイ高校生にすら相手にされなくなってまた息できなくなったみたいだね

363(3): 10/13(日)06:57 ID:Rz/fHR1b(1/3) AAS
>>349
乱数発生させてのシミュレーションだと。
Aの勝つ確率は4割強になった。

sim=\(n){
a=sample(6,1)
b=numeric()
i=1
b[i]=sample(6,1)
while(i<n & b[i]>=a){
i=i+1
省6

364(2): 10/13(日)07:39 ID:Rz/fHR1b(2/3) AAS
Wolfram言語の練習
sim[n_]:=(
a=RandomSample[Range[6],1][[1]];
b={};
i=0;
Until[i==n || b[[i]]<a,i++;AppendTo[b,RandomSample[Range[6],1][[1]]]];
a>Max[b]
)

365(2): 10/13(日)08:12 ID:Rz/fHR1b(3/3) AAS
>>364
グラフにしてみた。
画像ﾘﾝｸ[png]:i.imgur.com

366: 10/13(日)10:22 ID:NZ76tjyL(1) AAS
>>365
尿瓶ジジイまだ生きてたのかよ？

367: 10/13(日)11:10 ID:hb0FIQDx(1/2) AAS
>>363
いつまでスレタイすら読めないアホっていう生き恥晒すつもりだよ？

368: 10/13(日)19:05 ID:hb0FIQDx(2/2) AAS
ぐうの音も出ない模様

369(1): 10/14(月)07:17 ID:z4sgTzIU(1/2) AAS
>>363
Wolfram

1/12 (1 - 6^(1 - n))

370: 10/14(月)07:19 ID:z4sgTzIU(2/2) AAS
Sum[Sum[(1/6)^m ((a - 1)/6), {m, 1, -1 + n}], {a, 1, 6}]/6

371: 10/14(月)08:35 ID:kqa9SfNc(1/3) AAS
>>369
もう日本語すら話せないのかよチンパン

372: 10/14(月)09:29 ID:kqa9SfNc(2/3) AAS
尿瓶ジジイ>>363-365、今となっては医者板でもコピペとチンパン数学しか書き込めない模様
認知症か

373(3): 10/14(月)13:15 ID:l7USN4Sr(1/4) AAS
>>353
(1)22通り
(2)
555 560 565 570 575 605 610 615 620 625 655 660 665 670 675 705 710 715
556 561 566 571 576 606 611 616 621 626 656 661 666 671 676 706 711 716
720 725 755 760 765 770 775 1055 1060 1065 1070 1075 1105 1110 1115 1120 1125 1155
721 726 756 761 766 771 776 1056 1061 1066 1071 1076 1106 1111 1116 1121 1126 1156
1160 1165 1170 1175 1205 1210 1215 1220 1225 1255 1260 1265 1270 1275 1555 1560 1565 1570
1161 1166 1171 1176 1206 1211 1216 1221 1226 1256 1261 1266 1271 1276 1556 1561 1566 1571
1575 1605 1610 1615 1620 1625 1655 1660 1665 1670 1675 1705 1710 1715 1720 1725 1755 1760
省6

374: 10/14(月)13:17 ID:l7USN4Sr(2/4) AAS
r5=Range[0,5];
r4=Range[0,4];
t1=Tuples[{1*r5,5*r5,10*r5,50*r5,100*r5,500*r4}];
f[n_] :=Select[t1,Total[#]==n&]
f[1000]//Length

t2=Total /@ t1;
t3=Counts[t2];
maxt3=Max[t3]
Select[t3,#==maxt3&]
% // Length

375(2): 10/14(月)14:03 ID:kqa9SfNc(3/3) AAS
>>373
巣に帰れ

2chｽﾚ:hosp

376: 10/14(月)18:37 ID:l7USN4Sr(3/4) AAS
>>373
(2) 訂正
[1] 555 560 565 570 575 605 610 615 620 625 655 660 665 670 675 705 710
[18] 715 720 725 755 760 765 770 775 1055 1060 1065 1070 1075 1105 1110 1115 1120
[35] 1125 1155 1160 1165 1170 1175 1205 1210 1215 1220 1225 1255 1260 1265 1270 1275 1555
[52] 1560 1565 1570 1575 1605 1610 1615 1620 1625 1655 1660 1665 1670 1675 1705 1710 1715
[69] 1720 1725 1755 1760 1765 1770 1775 2055 2060 2065 2070 2075 2105 2110 2115 2120 2125
[86] 2155 2160 2165 2170 2175 2205 2210 2215 2220 2225 2255 2260 2265 2270 2275

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