ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

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411: １３２人目の素数さん [] 2024/09/22(日) 09:05:07.29 ID:oAEXID8O

>>403
(引用開始)
高校時代、教生実習に付き添って来ていた大学の先生が
同級生の質問に答えてオイラーの公式から加法定理を
導いているのを見て
「悪趣味だな」と思った。
(引用終り)

なるほど
下記の 高山茂晴、あるいは Tomoki Kawahira では
加法定理から、複素数の極形式による積の公式を導くのが、高校レベルの常道なのでしょう
だから、加法定理→オイラーの等式と指数関数に対して
オイラーの等式と指数関数→加法定理 をやると 循環論法になります

”教生実習に付き添って来ていた大学の先生”ね
彼は、そこらをどう考えていたかですねｗ ；ｐ）

(参考)
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/tambara/docs/l4h20140712-3takayama.pdf
高校生のための現代数学講座「複素数の幾何学」講義(3)　
高山茂晴 2014 年7月12日 東京大学 玉原国際セミナーハウス

複素数の和,差(加法,減法)は複素平面のベクトルとしての和,差を用いて図形的に理解できた. 積, 商(乗法, 除法)の図形的な理解は直感的には容易ではなかった.

目標：z=x+yi=r(cosθ+i sinθ)であり, もう一つのz=r (cosθ+i sinθ)に対して, zz=rr (cos(θ +θ)+i sin(θ +θ))となる目次：
(a) 一般角と弧度法, ラジアン,三角関数 (数学II,一部数学I)
(b) 極形式, 絶対値, 偏角 (数学III) .
(c) 複素数の積と三角関数の加法定理 (積は数学III,加法定理は数学II)
(d) zn の様子 (数学III)
(e) 複素数の平方根, 3乗根 (数学III)

https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses.html
Tomoki Kawahira / Graduate School of Economics / Hitotsubashi University
素関数の基礎のキソ
講義ノートver.20220908．後半は練習問題集（ 前バージョン）．
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/kansuron.pdf
複素関数の基礎のキソ（１３講＋補講２）

第1講複素数と複素平面
1.2 複素数の「正当化」：複素平面
1.3和・積の幾何学的意味
複素数とをそれぞれ次のように極表示する：
これらの積はと三角関数の加法定理により
略
を得る．
第2講 オイラーの等式と指数関数

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/411

421: １３２人目の素数さん [] 2024/09/22(日) 14:52:09.55 ID:oAEXID8O

>>414
>そういう怠惰な学生の中には
>Weierstrass流の円周率の定義を聞いて
>目を覚ます者たちもいるだろう

ご苦労さまです
en.wikipedia に詳しい解説がありますね
（やはり、数学の情報は、英語が圧倒的に豊富ですね）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Pi
The number π (/paɪ/; spelled out as "pi") is a mathematical constant that is the ratio of a circle's circumference to its diameter, approximately equal to 3.14159.

Definition
π is commonly defined as the ratio of a circle's circumference C to its diameter d:[10]
π=C/d
The ratio C/d is constant, regardless of the circle's size. For example, if a circle has twice the diameter of another circle, it will also have twice the circumference, preserving the ratio C/d.
This definition of π implicitly makes use of flat (Euclidean) geometry; although the notion of a circle can be extended to any curve (non-Euclidean) geometry, these new circles will no longer satisfy the formula
π=C/d.[10]

Here, the circumference of a circle is the arc length around the perimeter of the circle, a quantity which can be formally defined independently of geometry using limits—a concept in calculus.[11] For example, one may directly compute the arc length of the top half of the unit circle, given in Cartesian coordinates by the equation x^2+y^2=1, as the integral:[12]
π=∫−1〜1 dx/√(1−x^2).
An integral such as this was proposed as a definition of π by Karl Weierstrass, who defined it directly as an integral in 1841.[b]

Integration is no longer commonly used in a first analytical definition because, as Remmert 2012 explains, differential calculus typically precedes integral calculus in the university curriculum, so it is desirable to have a definition of π that does not rely on the latter. One such definition, due to Richard Baltzer[14] and popularized by Edmund Landau,[15] is the following: π is twice the smallest positive number at which the cosine function equals 0.[10][12][16] π is also the smallest positive number at which the sine function equals zero, and the difference between consecutive zeroes of the sine function. The cosine and sine can be defined independently of geometry as a power series,[17] or as the solution of a differential equation.[16]
In a similar spirit, π can be defined using properties of the complex exponential, exp z, of a complex variable z. Like the cosine, the complex exponential can be defined in one of several ways.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/421

424: １３２人目の素数さん [] 2024/09/22(日) 16:43:46.42 ID:oAEXID8O

>>423
>真っ先にカンニングですか
>自分の頭では何も思いつかん、と

ふっふ、ほっほ
ファクトチェック（FIJ）ですよ

https://fij.info/introduction
誤情報に惑わされない社会へ
FIJ
ファクトチェックとは
ファクトチェックとは、社会に広がっている情報・ニュースや言説が事実に基づいているかどうかを調べ、そのプロセスを記事化して、正確な情報を人々と共有する営みです。
一言でいえば、
「真偽検証」です。■

>cosを使うのは結構だが、肝心のcosをどう定義するつもりだい？

>>422に書いてある通り
『コサインとサインは、幾何学とは独立して、べき級数として[17]、または微分方程式の解として定義できます。[16]』

>これで定義として十分

そんなことはない
円周率 πくらい 歴史の長い存在では、多数の定義があり
利害得失があるのです
初等的な定義から、高等数学につながる定義までね

高木「近世数学史談」にあるとおりで
ガウスは、三角関数を周長の積分の逆関数としてとらえ
レムニスケートの周長の積分の逆関数として、楕円函数論を射程に捕えた
この視点からは、上記 >>421”one may directly compute the arc length of the top half of the unit circle, given in Cartesian coordinates by the equation x^2+y^2=1, as the integral:[12]
π=∫−1〜1 dx/√(1−x^2).
An integral such as this was proposed as a definition of π by Karl Weierstrass, who defined it directly as an integral in 1841.[b]”
は、十分首肯できる
しかし、”as Remmert 2012 explains”の通りで、大学1〜2年に”a definition of π by Karl Weierstrass”
を押しつけるのは、如何か
むしろ、楕円函数論の歴史の一つとして、Weierstrassの円周率 π 定義の逸話を教えてやれば
納得する学生多数と思います。ガウスの話とともにね

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/424

429: １３２人目の素数さん [] 2024/09/22(日) 18:32:16.30 ID:oAEXID8O

>>425
>今どきの高校生で円周率の計算方法を知る奴がどれほどいるかね

ふっふ、ほっほ
いまから、19年前のことでしたｗ ；ｐ）

(参考)
web.quizknock.com/pi-305
quizknock
【東大入試解説】「円周率が3.05よりも大きいことを証明せよ」2003年の東京大学
「3.05より」はそれなりに大変

www.tomonokai.net/daiju/mathproblems/ut1/
東京大学入試の数学の過去の良問を徹底解説。本番に使える解き方も伝授します。
東大家庭教師友の会

画像の問題は2003年の東京大学の入学試験で出題された、入試の歴史に残る伝説の問題です。この記事では「この問題のいったい何が凄かったのか」「いったい本番でどうやって解けばいいのか」「別解はないのか」という点を深掘りしていきます。そして、東京大学の出題の特徴や、東大入試突破のコツまで紹介していこうと思います。

なぜこの問題は良問なのか？
　この問題はよく「ゆとり教育の一環で円周率を3にしようとする文科省への東京大学による反逆である」といわれます。しかし、初めに言っておくとこれはウソです。実際にはゆとり教育の下でも小学校の教科書では円周率を3.14として教えていました。

人々が「ゆとり教育では円周率が3」という誤解をし、これがなかなか解けなかった要因は大手学習塾による大々的なキャンペーン、およびマスメディアの過剰な報道にあるとされています。当時はネットの普及もそこまで進んでおらず、今よりも正しい情報を得るのが大変な時代ではあったとはいえ、学習指導要領をよく読めば「小学校では円周率は3.14として教えよ。ただし、必要があれば3にする配慮をせよ」という文科省の当初の意図が分かるはずなのです。

話を戻して、今度は円周率そのものについて考えていきましょう。もちろん円周率は3ではありません。ただし、3.14でもありません。一応こういった数字を使わずに円周率を説明すればギリシア文字を使って「円周率はπ(パイ)である」と言えるでしょう。しかし、「円周率は3.14！」という人を批判する人のうち、どれだけの人が円周率の定義を正しく言えるのでしょうか？

東京大学の数学の入試問題はこうした本当に基本的な部分を正しく理解しているかどうかが肝なのです。さて、問題は無事解けましたでしょうか？解けたという人も、考えてみてはいるけどまるで見当がつかないという人も一旦、下の解説をご覧ください。まずは、解答に至る切り口から説明していきます。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/429

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