[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11 (1002ﾚｽ)
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820: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/28(土)21:40 ID:aD5GuW9/(13/19) AAS
>>809
>ペレルマンはポアンカレ予想を解決したが
>4次元ポアンカレ予想は未解決
>フリードマンの仕事は
>4次元ポアンカレ予想の可微分バージョンの解決
wikipediaによれば、下記ですね
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ポアンカレ予想
ポアンカレ予想は各次元で3種類（位相、PL、微分）があり、かなり解けているが「4次元微分ポアンカレ予想」「4次元PLポアンカレ予想」「高次元微分ポアンカレ予想の残り少し」は未解決である。これらは非常に重要な問題である[5][6][7]。
歴史と背景
省5
821(2): 2024/12/28(土)21:44 ID:oa5Yr+V9(5/7) AAS
これはうっかりしていました。
可微分ヴァージョンが残された未解決問題でした。
専門外だとこんなことがちょくちょくあります。
822: 爺様食い 2024/12/28(土)21:55 ID:DRoWkPoj(12/13) AAS
>>821
お爺ちゃんはもう黙ったほうがいいわよ
823: 2024/12/28(土)21:58 ID:oa5Yr+V9(6/7) AAS
大失態でした
824(2): 2024/12/28(土)21:58 ID:aD5GuW9/(14/19) AAS
>>816
> >>808 立川裕二、・・、それに山下真由子氏とか
>今は 『自分は”努力”している』なんて、思ってないのでは？
>今は やりたいことを、楽しんでやって結果を出している では！ｗ ；ｐ）
まあ、下記などが参考になるだろう
www.mathsoc.jp/assets/file/publications/tushin/2903/yamashita-tachikawa.pdf
山下真由子さんの令和6年度科学技術分野の文部科学大臣表彰若手科学者賞受賞に寄せて
東京大学カブリ数物連携宇宙研究機構 立川 裕二
山下真由子さんが『代数トポロジーと量子場の理論の研究』に関して今年度の文部科学大臣表彰若手科学者賞を受賞なさったことに関して，物理側の共同研究者の一人である私から一言コメントを，というお声掛けを『数学通信』の皆様からいただいた．私自身が数学者でないため，山下さんの業績がこれまでの数学の流れの中でどう位置づけされ，どのような発展をもたらしたのか，ということについては申し訳ないながら解説することが出来ない．しかし，このような機会をいただいたのであるから，山下さんの仕事がどのように我々理論物理学者にとって有り難いのかということを皆さんにわかっていただくことは出来るのではないかと思って，この記事の執筆をお引き受けした次第である．また，山下さんは他にもいくつかの賞を受賞しており，複数の受賞記事がこの『数学通信』誌に掲載されているので，説明が重複してしまいがちであるが，なるべく異なる方面からの解説を心がけたいと思う．
さて，場の理論には百年近い歴史があり，実験的結果もよく再現する．しかし，全般的な純粋数学的取り扱いが非常に困難であり，万人の納得する数学的枠組みは未だ無く，種々の部分的側面が定式化されているに留まる．考察する側面に応じて，必要になる数学的分野は異なるが，長らく代数トポロジーはそれほど目立った使われ方をしていなかった．
省2
825(1): 2024/12/28(土)21:59 ID:aD5GuW9/(15/19) AAS
つづき
いろいろな部分的結果が非厳密な物理的考察から得られ，沢山の論文が書かれたが，徐々に，分類結果はK理論に関連するような何らかの一般コホモロジー理論で得られるだろうという共通認識が得られた．これは後に理論素粒子物理を経由して純粋数学側で取り上げられ，数学者Freed とHopkins によって 2016 年に空間 d 次元時間1次元のG-SPT相でフェルミオンを含むものの分類結果は(IZMSpin)d+2(BG) という一般コホモロジーで与えられるという提唱がなされた．ここでMSpinはスピン同境ホモロジーもしくは対応するトム・スペクトラムで，スペクトラムE に対してIZE は常ホモロジーと常コホモロジーの間の普遍係数定理を一般(コ)ホモロジーに拡張するために必要になる双対操作でアンダーソン双対と呼ばれ，BGはGの分類空間である．このFreedとHopkins の主張はユークリッド的で反転正値かつ可逆な場の理論の彼らの数学的に厳密な定式化による考察に基づいてはいるが数学的には厳密な証明ではなく予想に留まるものではある．しかし，理論物理屋の間ではその他の状況証拠からも非常に確からしいと思われている．
この問題をさらに数学的に追究するには色々な方法が考えられる．ひとつは，物性系を統計力学系として作用素環を用いて厳密に数学的に研究することには長い歴史があるので，その枠組みでこれらの相を定式化し，分類を証明しようという方向性である．このプログラムを次々と遂行なさっているのが緒方芳子さんで，その業績に対してごく最近猿橋賞が授与されたのは記憶にあたらしい．緒方さんがポアンカレ賞を受賞なさったときの記事も『数学通信』の第26巻第4号にあるのでそちらをご覧になると良いと思う．
もうひとつの方法は，Freed と Hopkins の立場に近く，系を可逆で反転正値な場の理論として考えることにし，それを数学的に厳密に扱うという方法である．こちらの研究を力強く推し進めているのが山下さんである．例えば，理論物理学者の米倉和也さんとの共著からはじまる一連の論文で，山下さんは，理論物理における可逆相の議論を厳密化することにより，同境ホモロジーのアンダーソン双対およびその微分一般コホモロジー化のモデルを構成した．また，数学者の五味清紀さんとの共著論文で，山下さんは微分KO理論の新たなモデルを構成したのだが，これはトポロジカル超伝導体の理論物理における解析を動機としており，スピン同境ホモロジーのアンダーソン双対との関連も自然に示唆されるような構成になっている．
以上の論文の概要からもおわかりだろうと思うが，山下さんは，純粋数学者としてのトレーニングを受けたはずながら，不思議に我々理論物理屋の言うことを判ってくださる．私の所属する研究所には，幸い数学者と物理屋の双方が多数所属するので，代数トポロジーが必要になりはじめたころから色々と同僚の数学者に質問をしてはいたものの，まずはこちらの意図を理解してもらうことが困難で，また，数学的問いが何とか伝わったとしても，それを解決したい動機が伝わらなければ真剣に考えては貰えないわけである．というわけで，代数トポロジーを必要とする私の研究は遅々として進んでいなかった．その状況が2021年に山下さんに巡り合ったことで有り難いことに大きく変化したのである．
省1
826(1): 2024/12/28(土)22:00 ID:aD5GuW9/(16/19) AAS
つづき
さて，私はコロナ禍のすこしまえ頃から，d次元のヘテロティック弦理論における量子異常の相殺について考えていた．Stolz-Teichner の提唱を仮定すれば，d 次元のヘテロティック弦理論は元T ∈TMF22+d(X) によって指定される．また，その量子異常は，数学的には何かコホモロジー作用素αspin :TMF22+d(X) → IZMSpin2+d(X) があって αspin(T) によって記述されることになる．この量子異常が相殺するというのは，さらにそれを標準的な変換IZι : IZMSpin2+d(X) → IZMString2+d(X) によってストリング同境ホモロジーのアンダーソン双対に送るとIZι◦αspin(T)=0 となるということである．
理論物理側からは，特定のd,X,T に対してこれを調べたくなる動機があり，私の技量ではもっとも簡単なd=2,X =ptでT が一般の場合に示すのが限界だった．そんな中，2021 年早春のオンライン研究会に参加した所，山下さんが関連しそうな話をしているのを見かけたので，数日逡巡した後に電子メールで相談をしてみたところ，興味をもってくださったのでしばらくメールのやりとりをした．すると，一ヶ月ほどの間に，上記コホモロジー作用素αspin の厳密な定義をしてくださった．そうこうしていると，なんと特定の物理的動機のあるd,X,T に対してだけではなく，勝手なd,X,T に対してIZι◦αspin(T)=0であることが証明されてしまったのである．これには私はびっくりしてしまった．そもそも，理論物理屋の癖として，特定の例について計算することに気を取られていたので，全ての場合に消えることが示せるなどとは思ってもいなかった．これは，考えている対象を素直に扱いうる中でなるべく一般的な設定を使うと，個別の問題を扱うより考察がむしろ簡単化することがある，という，数学の特徴を良く示しているのだと思う．
しかし，そこに至るまでには，理論物理屋である私のいい加減な説明を理解して，証明すべき厳密な数学の主張を取り出さないといけない．私は過去の二十年ほどの理論物理屋としての研究の過程で，理論物理から生じた数学的問題に関して，幸いなことに複数の数学者に考えていただいたことがある．しかし，これまでは，まず問題を理解して定式化していただくのに数年かかり，さらにそれを証明していただくのにさらに数年かかる，というのが典型的なタイムスケールだった．
そうすると，証明ができた頃には，移り気な私の興味は別の問題にあることが多く，証明ができたこと自体が私の研究に影響を与えるわけではなかった．それが，上記の研究からはじまる私と山下さんとの共同研究の場合は，数ヶ月の単位で進む．これは理論物理屋としての私の研究のタイムスケールと同程度であり，山下さんが定式化して証明してくださる結果が，私の理論物理における考察にリアルタイムで影響を与えてくれるのである．これは私にとってはじめての経験だった．今後も山下さんは私に限らずいろいろな理論物理屋の研究を助けてくださるだろうと思う．山下さん，ご受賞おめでとうございます．今後とも宜しくお願いいたします．
(引用終り)
以上
827: 童貞喰い 2024/12/28(土)22:07 ID:DRoWkPoj(13/13) AAS
>>824-826
こんな文章コピペする暇があったら、空間XのK群の定義でも読んだほうがいいわね
828(1): 2024/12/28(土)23:02 ID:oa5Yr+V9(7/7) AAS
コピペは(慣れたら)一瞬なのでは？
829(2): 2024/12/28(土)23:32 ID:aD5GuW9/(17/19) AAS
>>821
・弘法も筆の誤りですな
・松本幸夫先生、4次元のトポロジーが大衆向け解説本です。その受け売り
（インタビュー記事が面白かった。フリードマンがフィールズ賞を取った後、態度がでかくなったみたく書いてあったｗ）
Casson handleという変なもの(微分可能でない)が、ホイットニーのトリックに使えて 4次元ポアンカレが解決されたので、微分可能でない結果だと
・滑らかな 4次元多様体で、「11/8 予想」に対し 古田幹雄氏の結果が最良（下記）も
松本氏の本にあったと思います
(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%98%E6%B3%95%E3%82%82%E7%AD%86%E3%81%AE%E8%AA%A4%E3%82%8A
弘法も筆の誤りは、平安時代の日本からのことわざ
省15
830: 2024/12/28(土)23:33 ID:aD5GuW9/(18/19) AAS
つづき
次元 5 の場合との差異の詳しい理由は、手術理論の基礎となっている重要な技術的トリックであるホイットニーの埋め込み定理（英語版）(Whitney embedding theorem)が、2 + 1 次元を要求するからである。大まかにいうと、このトリックによって、結び目のある球面を"結び目なし"にすることができる。
ホイットニーのトリックの変形は、4 次元でも可能で、キャッソンハンドル（英語版）(Casson handle)と呼ばれる。十分な次元が存在しないため、ホイットニーの円板は新しい捩れ(kink)を発生させ、それを他のホイットニーの円板により解消させることができる。このことから円板の列（「塔」）が発生する。この塔の極限は、トポロジカルではあるが、微分可能ではない写像を得るので、4次元で手術はトポロジカルに機能するが、微分可能ではない。
ja.wikipedia.org/wiki/4%E6%AC%A1%E5%85%83%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93
4次元多様体
滑らかな 4次元多様体
交叉形式が不定値で、偶であると、必要ならば向き変えることにより非正の符号とすることを前提とすると、その場合には、ある m と n があり、'm 個の II1,1 のコピーと 2n 個の E8(−1) のコピーの和と同型となる。m ≥ 3n であれば（従って次元は少なくとも |符号| の 11/8 倍）、滑らかな構造が存在し、n 個のK3曲面と m − 3n 個の S2×S2 のコピーの連結和を取ることで与えられる。m ≤ 2n（従って次元は多くとも |符号| の 10/8 倍である）とすると、古田幹雄は滑らかな構造が存在しないことを証明した(Furuta 2001)。このことは 10/8 と 11/8 間にギャップがあり、そこでの答えは未解決である。（上の状態をカバーしていない最小の場合は、n = 2 と m = 5 の場合であるが、しかし、これも棄却されるので、現在知られていない最小の格子は、格子 II7,55 でランクは 62 であり、n = 3 であり m = 7 である。「11/8 予想」は、滑らかな構造は、次元が |符号| の 11/8 倍以下であれば、滑らかな構造は存在しないのではないかという予想である。
対照的に、向き付けされた 4次元多様体上の滑らかな構造を分類する第二の問題はほとんど分かっていない。実際、単独の滑らかな 4次元多様体で、答えが知られているものはない。ドナルドソンは、ドルガチェフ曲面（英語版）のような、単連結でコンパクトな 4次元多様体が存在し、可算無限個の異なる滑らかな構造が存在することを示した。R4 上には非可算無限個の異なる滑らかな構造が存在する。エキゾチック R4を参照。
フィンツシェル (Fintushel) とスターン (Stern) は、手術を使い、多くの滑らかな多様体の上で、互いに異なる大きな数の滑らかな構造をどのように構成するかを示し（任意の整数係数多項式をインデックスとする）、サイバーグ・ウィッテン不変量を使い、滑らかな構造は異なっていることを示した。これらの結果は、単連結でコンパクトな滑らかな 4次元多様体の分類は非常に複雑であることを意味している。現在、この分類が妥当であるというもっともらしい予想はない（いくつかの早い段階の予想は、すべての単連結な滑らかな 4次元多様体は、代数曲面、あるいは、シンプレクティック多様体の向きを保つ連結和かもしれないという予想があったが、否定された）。
en.wikipedia.org/wiki/4-manifold
省3
831: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/28(土)23:38 ID:aD5GuW9/(19/19) AAS
>>829
>コピペは(慣れたら)一瞬なのでは？
・まあ、一つはミス防止です
記憶で手打ちすると、ミスが多くなる
・また、コピペするときに、読んでます ；ｐ）
・>>824 の 立川裕二氏も原文はもっと長いのですが
これで半分くらいにしています。重要部分に絞るために、読む必要があります
832: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/29(日)08:56 ID:aRTKq65A(1/4) AAS
>>824-82 追加
>緒方芳子さんで，その業績に対してごく最近猿橋賞が授与されたのは記憶にあたらしい．緒方さんがポアンカレ賞を受賞なさったときの記事も『数学通信』の第26巻第4号にある
立川 裕二氏の記事は、下記「数学通信」第２９巻第３号 ２０２４年 １１月 Ｐ43
緒方芳子さん 猿橋賞の記事も同じ号にある
「数学通信」第２６巻第4号も貼っておきます
www.mathsoc.jp/publications/tushin/backnumber/index29-3.html
「数学通信」第２９巻第３号目次 ２０２４年 １１月
・山下真由子さんの令和6年度科学技術分野の文部科学大臣表彰若手科学者賞受賞に寄せて 立川 裕二 ４３
・www.mathsoc.jp/assets/file/publications/tushin/2903/ogata-tasaki.pdf
緒方芳子さんの猿橋賞および令和6年度科学技術分野の文部科学大臣表彰科学技術賞受賞に寄せて 田崎 晴明 ２０
省10
833: 2024/12/29(日)08:58 ID:KD+soCAP(1/6) AAS
田崎さんとはある結婚式で同席させてもらった
834: 2024/12/29(日)09:31 ID:u/SwZFyD(1/5) AAS
>>828
考えもせずに一瞬でできることに何の価値もない
835: 2024/12/29(日)09:37 ID:u/SwZFyD(2/5) AAS
>>829
> 弘法も筆の誤りですな
某教授はトポロジーに関しては素人なので弘法ではない
> Casson handleという変なもの(微分可能でない)が、
> ホイットニーのトリックに使えて 4次元ポアンカレが解決されたので、
> 微分可能でない結果だと
受け売りは所詮無理解の念仏だから頭に残らず間違える
九九を理解しない子供が、しばしば間違えるのと同じ
九九の値を確認する手段を知っていれば間違いを正すことができ
結果として正しい値を覚えることになる このこと算数において最も重要
省1
836(1): 2024/12/29(日)09:42 ID:u/SwZFyD(3/5) AAS
４次元微分可能ポアンカレ予想、というのは
４次元ホモトピー球面はＳ＾４と”微分同相”
という予想
つまり４次元球面には異種球面は存在しない、という予想
これが正しいか否かは全く不明である
ちなみに４次元ユークリッド空間には異種空間が存在する
しかも非可算無限個
他の次元ではこのようなことは決して起きない
省1
837(1): 2024/12/29(日)09:44 ID:u/SwZFyD(4/5) AAS
一般の数学者にとってゲーデルの不完全性定理はどうでもいいことらしい
ただ、不完全性定理と同値である非決定性は、数学のあらゆる分野に現れる
まあ大抵は、そんな難しい問題が非決定でも別に俺の研究に何も影響しない、という意味で無関心らしい
838(1): 2024/12/29(日)09:58 ID:KD+soCAP(2/6) AAS
>>836
多変数関数論でも異種構造は興味を持たれている
long C^2とかshort C^2とか
839: 2024/12/29(日)10:00 ID:KD+soCAP(3/6) AAS
>>837
永田先生に一度連続体仮設関係の話題をふったところ
「それはどちらでもよいことだ」といわれたので
それきりになってしまった
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